2016年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（O.【解】由limx工―o+「+°°dx(1+j?)6-------------------T=]且(1+"•——-——=1且才(1+无)"+b〉19应选(C).djr1壬“（1+工）"(2)再由limx工一*+°°a+b即aV1且a【答案】（D）.1cLz*oj?"(l+工)"1打：收敛得aVI,0X(十工)『+°°Hra(.,—GT收敛得a+b>1,1X(1十无)0【解】F()=/(jr)djr=取C=O得f（jr）的一个原函数为F（z）=(jt—1)2CxV19jr(lnx一1)+C+1，x1.°<4应选(D).j?(Inj?一1)+】9工$1.(3)【答案】（A）.【解】设小=（1+小2—馅+川,兀=（1+工2）2十丿1+川，由线性微分方程解的结构得g—小=2/1+/为,+〃（工）夕=0的解，代入得--—-----p（-T）•2\/1+JC2=0,解得P（.JC）=一-一~2；再由线性微分方程解的结构，得"严=（1+小2为“+p（_z）y=q&）的解，代入得4z(1+)-----------7•(1+2)2=q(=)，解得q(jt)=3jt(1+JC2),应选(A).1十工(4)【答案】(D).【解】/(0)=0,lim/(J：')=0,lim/(jc)=lim丄=0,x-^o~’-()+"f8n由/(0)=/(0-0)=/(0十0)=0得于(工)在工=0处连续.由lim—八°?=lim-=1得(0)=1；力j--*0无丄[./(JT)—/(0)nlim-------------------=lim—,—+无z-o+工由一V乂V丄得:V冷■V19从而lim—=19于是F+(0)=19Ti+ln??十11丄一0+1nn因为/'I(0)=f\(0)=1?所以/(壬)在z=0处可导9应选(D).⑸【答案】（C）.【解】由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得PlAP=B.2oE(X),E(X2)=y,D(X)对P}AP=B两边取转置得PtAt（P_1）t=Bt,或[（PT）t]TaT[（pT）t]=b「,即At与Bt相似,（A）正确；由PAP=B得PA1P=B1，即与矿|相似，（E）正确；由PAP=B及PA~P=B"得P_1（A十Ai）P=於+B1,即A+A^'与B+B1相似，（D）正确，应选（C）.（6）【答案】（E）./I22【解】二次型的矩阵为A=212'221A-1-2-2A-1-2-2由—A|=-2—2=(A+1)2(A一5)=0得A—1矩阵A的特征值为入1=5,入2—A3=一1,二次型的规范形为f（Jr1，工2，z3）=5祈一y\—yl,从而/'（厂，工2，工3）=2表示的曲面为5j；i—yl—3/3=2,该曲面表示双叶双曲面，应选（E）.（7）【答案】（E）.【解】由X〜N（〃，川）得士H〜n（0,1）,（Jp=p{x+</}则p随着C的增加而增加，应选(E).(8)【答案】(A).【解］方法一X〜B(2,y),丫〜,242E(X)=E(y)=y,D(X)=D(y)=g,E(XY)=1X1XP{X=1,Y=1}Cov(X,Y)=E(Xy)-E(X)E(Y)=---£9一…C°v(X,Y)_=_lx2JD(X)•7D(Y)94方法二P{X=0}=C«(y)°(i)2=19P{X=1}=C2—•y=4/012\1X〜441，同理丫〜440~9~9~'~9—应选(A).£2\19/984424=—,E(Y)==—,D(Y)='T0"93©7P{XY=Q}=g，艮卩XYP{XY=1}=F{X=l,y292E(XY)=g,Cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y)2~9£~92PXYCov(x,y)VD(X)-VD(Y)二、填空题291----------X一=----942'（9）【答案】【解】lim■rf0Zln(l+Zsint)dt0i21―COSXlim工f0tln(1+/sin/)dt0limj--*0xln(1+j?sinx2工314—X2)_1（10）［答案】_/+（》一1）4aa【解】rotA=j+(y—1)R.N1.xyz(11)【答案】一djr+2d』・【解】将x=Q,y=1代入得n(工l)z—y2=x2f(x—nq)两边关于jc求偏导得n+(«z+1)n：=2jcfJjc一zjc2f\(<x一z•(1一zx)?将e=09)=1=1代入得/(O」)=—1;(w+1)n—y2=x2f(jc—nq)两边关于y求偏导得(工+1)n；—2y=x2[_f\(jc—n9?)(—zy)+ffy(jc—之9丿)〕9将乂=。9丿=1，n=1代入得n；(C)91)=2,故c!n|(o,i)=一山+2dy.(12)【答案】y.•T§【解】方法一arctanx=x---------o(工3)9-----------=1一ax2+o(jc2)91+ax则arctanx--------—勺1+axax3+o(_z3),f〃(0)再由f(x)=/(0)+/Z(O)J7+——X2+3!/〃(0)1仙/曰飞厂—亍，解侍°方法二(工)=j2_(]1心2)2,1+jc(1十ax)厂(OJ+o(x3)得(1+^2)26(2j?一2a2j?3(1+a^2)32一6j?2(6a一6<22j?2)(1+ajr2)一6aw(6qh一2tz2j?3)(1+2)3(1+ajc2)4所以(0)=—2+6^9由一2+6q=1得a=—.（13）【答案】A4+A3+2A2+3A+4.A-100A—100—10【解】0A—10=A•0A—1+0A-100A-132入+142入+1132A+1=入[入(入24-A+2)+3]+4=A4+A3+2A2+3A+4.-1+()T[+0—1L|2A+13A+1|」4入+1(14)【答案】(&2,10・8).【解】pj—W0.025<-----V“0.025l=°・95,一o得PF0.025<ZH<iX+—M0.025]=0.95,由〒+—M0.025=10.8得启"0.025=10.8—F=1.3,从而F—-^ZZ0.025=&2,故〃的置信度为0.95的双侧置信区间为（8.2,10.8）.三、解答题（15）【解】卜山旳2(l...
