1990年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)卜=一/+2,(1)过点M(l,2,-1)且与直线右=3/-4,垂直的平面方程为________.[z=上一1(2)设a为非零常数，则lim匸旦oo\jr——aM|工|V]⑶设函数心T。*二则函数兀心沪(4)积分［djrJ02曲=(5)已知向量组a1—(1,2,3,4),a2=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6),a4=(4,5,6,7),则该向量组的秩为________.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)设/"(工)为连续函数，F(_z)=[/(z)dz,则F'(h)=().(A)-/(j;)(B)-e~V(e_x)+fCx)(C)e"V(e-J)-/(^)(D)e^/(e~x)+/(J；)(2)已知于(工)具有任意阶连续导数，且于'(工)=『(工)]2,则当"为大于2的正整数时JQ)的n阶导数/(，，)(工)=().(AM!了(工)了+1(B)n[/(jr)]n+1(C)[y(_z)]2”(D)“！[/(工)了"(3)设a为常数，则级数£(计磐■—：)()•(A)绝对收敛(E)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知f(jt)在工=0的某邻域内连续，且/(0)=0,lim1)—=2,则在点x=0处h—O1―cosx心)().(A)不可导(C)取得极大值(B)可导，且/'(O)H0(D)取得极小值（5）已知伤，02是非齐次线性方程组AX=b的两个不同解,ai,a2是对应的齐次线性方程组4X=0的基础解系,k,,k2为任意常数，则方程组AX=b的通解为（）.B1—卩2（A）^!a!+&2（。1+。2）-------Q---(B)^]a!+紅@]—业)+01+022（C）釧5+紅（为+“2）+》：庆(D)Qai+紅(0i-02)+趴严三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）ln(1+jc)(2—jc)2g2（2）设z=f〈2工—y’ysinz）,其中f（u,v）具有二阶连续偏导数，求一f-.dxdy（3）求微分方程y"+4j/z+4j/=e~2j的通解.四、（本题满分6分）求幕级数工（2“+1）工"的收敛域，并求其和函数.n=0五、（本题满分8分）求曲面积分I=JJwdN（lz+2dj?dy,其中X是球面工？+y2+/=4（n$0）的外侧.2六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数十（工）在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且/（a）=fCh）,证明：在（a,6）内至少存在一点F，使得_/■'（£）>0.七、（本题满分6分）设4阶矩阵8=1-1002134'01-10厂一0213001-1?V—002100010002.，且矩阵A满足关系式A（E-CB）tCt=E,其中E为4阶单位矩阵,（?t表示C的逆矩阵,表示C的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵A.八、（本题满分8分）求一个正交变换，化二次型f（工\,攵2'工3）=#+4工：+4jr3—4工1工2+4J71J73~8J723为标准形.九、(本题满分8分)质点P沿着以AE为直径的半圆周，从点A(l,2)运动到点£(3,4)的过程中受到力F的作用(如图)，F的大小等于点P到原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP,且与夕轴正向的夹角小于今,求变力F对质点P所做的功.十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分)(1)已知随机变量X的概率密度函数为/■(工)=*「3,—8＜工＜+oo,则随机变量X的概率分布函数为F(工)—________.(2)设随机事件及其和事件AUB的概率分别为0.4,0.3和0.6,设斤为事件B的对立事件,则P(AB)=________.2&(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X—k}=：——e~2(.k=0,1,2,…)，k!则随机变量Z=3X—2的数学期望E(Z)=________.H----、(本题满分6分)设二维随机变量(X,Y)在区域D={(_z,y)|0＜工＜1,|＜工}内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度及随机变量Z=2X+1的方差D(Z).y十二题图