1987年全国硕士研究生入学统一考试数学解析（试卷DI）一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）2（1）答应填�岂-；一77壬1十QI（1十QZ）2解由y=ln（l+Qi）知，/=由，寸'=一渚行.（2）答应填尸*z+%』；y=—2z+牛乙《线解y=Tj~2，y⑴=«■，则z=i处切线方程为y—■=；&—1）,即法线方程为1-TJ7Z4Z乙4号=—2怎一1）,即y=~2x+^.（3）答应填六了）在［a，M上连续;在言,6］上至少存在一点£,使j7（x）ck=/（e）（&-a）.解积分中值定理：若/'（工）在［a,&］上连续，则在［a,切上至少存在一点E，使£/（x）＜ir=/（f）（6-a）.（4）答应填eT.解这是“广"型,直接有四（岸）”=此（岳T）=够者=广3.⑸答应填y（Q+C,其中C为任意常数;yE/（26）-/（2a）］.解Jf&）dr=yCr）+C,其中C为任意常数.『/（2^）dz=-|-『广（2部（2工）=*（2工）「=+［f（23）—,（2a）］.二、（本题满分6分）解临仕一/）*与半=临占去龙=1而铲=lim产=土d\ze—1/a-*ox（ex—1）dui"Z三、（本题满分7分）解因孚=5sinJ专=5—5cos,,故dy__5sint_sintcP、_d/sint'.虫=1dz5（1—cost）1—cos广dr2dz\1—cost/dz5（1~cosZ）2*四、（本题满分8分）令z=sin，,有Jo2匝cos血=于ocost4因此［*zarcsinzcLr=-----X■—=Jo4Z4o-1・h孑考研数学真题大全解（数学二）＞〉，五、（本题满分8分）解V=3tj（sinj：+l）2dz=7rj（~~+2sina:+l^dz=-y（8+3tt）.（2）解由特征方程r2+2r+l=0,知其特征根为、2=—1.故对应齐次方程的通解为.^=（Ci+C2^）e_J:.设原方程的特解为y*=e*az+0），代入原方程可得a=y,6=-y.因此,原方程的通解为v=y+V=（G+3）ef+土（工一1）1,其中G，G为任意常数.九、选择题（本题共4小题,每小题4分，满分16分）（1）答应选（D）.解由于/X—z）=I—zsin（—z）|e瑚一”）=|j?sin|eCO5X=/（j：）,则f（工）为偶函数.（2）答应选（C）.六、证明题（本题满分10分）⑴证对任意⑥，了（a,。），不妨设心Vzz，则/'（了）在［勾，心］上连续，在（五，zQ内可导，故由拉格朗日中值定理，存在关（勾，了2）U（a/）,使得S）-/（^）=/（?）（互一心）.由于/（工）在（aM）内恒大于零，所以/（^）＞0,又而一五＞0,因此/（^2）-/（^）＞0,即/（^2）＞/（^）.则，怂）在（a,6）内单调增加.’（2）证因g"（c）=lin/G）了‘（c）V0,而g'（c）=0,故linK竺V0.由极限的局部保号性，存在3＞jt-^cJCCjr-*c3CC0,当了£（c—8,c）时，有甘孚V0,即g'（z）＞0,从而gO）在（c—6,c）上单调增加；当ze（c,c+j）时，有W^VO,即g'&）V0,从而gCr）在（c,c+S）上单调减少.又由g'（c）=O知，工=c是甘（了）的驻点，因此g（c）为g（H）的一个极大值.七、（本题满分10分）解当0时，j/sin稣1庐cos纭&=J2&总+屏如an①=土arctan（知an刁+C；当q=0,6尹0时,I面击切&=1/忐&=/anz+C;当。尹0,5=0时，?.o—:~奇---o~dr=1——&=—cotz+C,Jqsinz+bcoszaJsinza，其中C为任意常数.八、（本题满分10分）（1）解化原方程为一阶线性微分方程dy!11应+板•尸1，得其通解为y=e~f^dx（Jl•』+&&+（?）=号］+§.由丁|=。,得c=—1,故所求特解为Ijc=J2_X1-2・1987年°<〈〈全国硕士研究生入学统一考试数学解析解由于/(2^7r)=2^7rsin2&穴=0,，(2如-■)=2奴｛k充分大)，则f(z)在(一8,+8)内无界，但当1—8时,/(])不是无穷大，也没有有限极限.故应选(C).注注意无穷大量与无界变量的区别与联系，无穷大量一定是无界变量，但反之不对.常见的是无界变量但不是无穷大量的变量：当0时,—sin—7—8时,zsinx.XX(3)答应选(B).>解iimf(a+Q~V(a—a=Hmf(a+z)—r(a)+]imf(a—f(a)=,怎)+,(a)=2f(a).ar-»O3CX,a-*0JC.(4)答应选(D).解I=tf'/(^x)dztX[/(〃)d“，由此可见J的值只与s有关，所以应选(D).J0J0十、(本题满分10分)解设所求点为(工1点1),心>05>0,于是JI=一2zi.过CzqD的切线方程为1工=刁y—yi=—2了1&—心)・令*=0得切线在V轴的截距b=xl+l,令丁=0得切线在z轴的截距a=铲.LjC\于是，所求面积为S(ii)=-|■湖-J(―x2+l)dz=-^-(药+2了1+?)--・令宁6)=§国+2—§)=土(3©—土)(勾+土)=0，得幻亏•又由S'5)|"=+S+W|>0,故点(会,音)即为所求，此时S信)=子"-3).'73173-3-1988年全国硕士研究生入学统一考试...
