1987年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案】J：—y+z=0.•Z=1,【解】直线丿y=—l+t,的方向向量为={0,1,1},直线耳丄=宁=专的方向向量为S2=、z=2十t{1,2,1},所求平面的法向量为n={0,1,1}X{1,2,1}={一1,1,一1},则所求平面方程为7T：乂一y+Z=0.(2)【答案】一匕.InZ【解】由yf=2X(1+jcln2)=0,得工=—丄;・In2当工V—时『V0；当h>—时j/>0,故当无=—7—Z时，函数y=x2x取得极小值.InZInZIn2⑶【答案】y.【解】由Inx=(e+1)—得岀工=e，曲线y=\nx与直线y=(e+1)—工的交点为(e,l),则所围成的平面图形的面积为A=Inxdjr(e-4-1)2—e23(e+1—=xInx—(e—1)+(e+1)----------------------=—.2(4)【答案】一18兀・【解】方法一由格林公式得){2xy—2y)dj：+(x2—4无)dy=JJ(2工一4—2x+2)cLzd;yD=—2jdxdy=18tc.d方法二令L：z—3COS1'(起点t=0,终点t=2tt),则y=3sintC2xy—2y)dx+{x2C2n—)dj/=(18sincost—6sinZ)•(—3sinZ)dz+J0(9cos2Z—12cost)•3costdt*2k(—54sin2Zcost+18sinS+27cos3Z—36cos2^)dz0*2n=18『sin2di—36|cos21dt0=36Jsin2zdz—72|cos2zdz0=7212一144Q=~7212=-18tt.(5)【答案】(1,1,—1)・令1a1+x2a2【解】+工3«3=a,11010由1011_1011oz'o012、f2—010-J'o010011，得_1向量a在基底ax,a2,a3下的坐标为(1,1,—1).J/d[.Ja+x2]徂=lim---------；----=——H#…3川3賦'---------dt二、【解】由lim。•z—0X2°+孑d£〜一-—x3,从而b3石=1,再由lim--------------x-*obx—sinx故q=4,6=1.⑴【解】（2）【解】3X1「31兴,______aZ=lim--------:-----=lim-------------oJ+严工->ox—sinx昭X—o1—cosx2=-^―=],得a=4,dv警=£,薯=g‘•(1+y),故讐•薯=g'(人+yfy)(1+：y).3sc由AB=A+2B得(A-2E)B=A,解得於=3—2£；）一也，1/I0而A-2E==1-10,12'z101:10由1_1001o卜'o12:00J2-1得(A-2E)-i2-2-1001111001_1110002_1_112-1_1301-1_11102-2_11u'o01_111于是B=2-2-111'一111014045-2-3-22-2-23S'=1两边积分得yf+&yf+(9+a2)y=无+C°,四、【解】方法一yw+63/〃+(9+a+63/z+(9+a2)=0的特征方程为入$+6入+(9+a2)=0,解得入1,2=一3土ai,则方程yz+6^Z+(9+a2)j/=0的通解为歹=e_3j(C】cosax+C2sinax);设yz+6jz，+(9+a2)j/=x+Co的特解为y*=Ah+B，代入得6c—于(9+a2)2"一9+故原方程的通解为6y=e_3j(Cicosax+C2sinax)--------rH-------二--------------.‘9+a29+a2(9+a2)2方法二特征方程为A3+6A2+(9+a2)A=0,解得特征根为Aj=0,A2=—3+ai,A3=—3—ai,yw++(9+a2)j/=0的通解为夕=+e-3j(C2cosax+C3sinax),T显然原方程有特解$。（工）=—-79十a故原方程通解为y=Cx+e_3x(C2cosax+C3sinax)+—y.9+a五、选择题（1）【答案】（C）.【解】S（-i）nk-^L=%£（—1）”g+£（—1）“丄，n=lXn=l乳n=l"因为级数£（一1）”4绝对收敛，级数工（一1）"丄条件收敛，所以原级数条件收敛，应选（C）.”=1nn=\71（2）【答案】（D）.【解】I=tPf（tx）dx=['f（tJC）d（Zx）--—=ff（u）du9JoJ0J0显然/与s有关，与t无关，应选（D）・（3）【答案】（E）.【解】由极限的保号性可知，存在d>0,当0VIZ—a|<5时,/（：）_'<0,（工—a）即/（工）</（a）,故z=a为极大值点，应选（B）.（4）【答案】（C）.【解】由AA*=\A\E得出|A|•\A'\=\\A\E\=\A\n,1£当工HO时，S(z)=—/J工”=i由|A|=a工0得|A*|=a""4，应选（C）.六、【解】由lim血=£，得幕级数的收敛半径为R=2,00-]i00（_i\n-l当工=—2时，级数工;—（-2）"-1=—S------------收敛；”=in2/”=in]11当工=2时，级数工――2n_1=——发散，故收敛域为[—2,2)；n=i/”=in令SQ)=S~|訐1，”=i咒2当工=0时，S(0)=*；I----InJCn工=0,故S（无）=[T(i-寺)，—2£hV2且hHO.七、【解】曲面s的方程为S：3/-l=/+»（]WyW3）,取外侧，令So:y=3(j:2+z2W2),取右侧，则s+s°s°(8j/+1)dj/dz+2(1—y2)dzdjc—4：yzdxdy9由#J7(8j/+Ddj/dz+2(1—j/2)dzdx—iyzda:dys+s。dv=JdjycLzdz=7T(.y—l)dj/=2兀9■r+zQTjjj;(8j/+l)dydz+2(1—y2)dzda:—4：yzdxdyso—1611dzdr=—16jj<2+z2<2=JJ2(1—y2}Azdx=-so故/=347t.八、【证明】令g(z)=/(jt)—工，因为OV/(x)V1(0£工£1),所以g(0)=f(0)>0,g(l)=/(l)—1VO9由零点定理,g&)...
