2021年数学（一）真题解析一、选择题⑴【答案】(D).er_1【解】由lim/(j?)=lim--------=1=/(0)得/(工)在无=0处连续；^-^-1”’再由lim2)—*°)=］岛-----=］加_［_工=1曲刍二当得•r-*0Xx-^OxX-*OX2f'(0)=£H0,应选(D).(2)【答案】(C).【解】f(工+l,e")=x{x+l)?两边对x求导得f\Q+1,于)+e丁；Q+1,于)=Q+1严+2工(°+1),取工=0得f\(1,1)+几(1,1)=1；/(x,jc2)=2o?Jlnx两边对工求导得/1(z,_z$)+2工兀(x2)=4jcInx+2x,取工=1得f\(1,1)+2/；(1,1)=2,解得f\(1,1)=0,/；(1,1)=1,故d/(l,l)=€1歹，应选(0.(3)【答案】(A).【解】因为/&）=洱冷为奇函数，所以b=0；1+工x31由sinx=x+。（工‘），-----7=1—x2+o（j?3）得61+工fG工2=X--久3+o（j?3）,1+工6应选（A）.（4）【答案】（E）.【解】lim±/（2^_1（5）【答案】（B）.2“—=lim—nn-*°°Tlr，应选（B）.阖令j'11211,X，则f=XvAX,0工31A-1-1100由|AE-A|=-1A-2—1=(A+1)—1A-2-2-1-1A-1-1A-1—(A+1)(入'一3A)==0得入i=—1,入2=0,入3=3,应选(E).(6)【答案】(A).【解】由施密特正交化得/尸罟需=4厶=証暮=彳=4,应选⑷.方法点评：将线性无关的向量组化为两两正交的规范向量组即施密特正交规范化，实对称矩阵的对角化的正交变换法需要将线性无关的特征向量进行正交化和单位化.设a〕,a2»a3线性无关，0i=a1,p2=a2~~hPi‘03=叭—匕庆~k2p,,且0】,02‘03线性无关,mi7__(a?,0i)厶_(。3，01)—(a3,02)刘Z1=斫瓦7'紅=(小心)2=莎瓦亍(7)【答案】(C).【解】r(o卜心)+心加=2心)；/AAB\列/AO\/AAB\Moflo爲得仏A」"；由"A°t)旦rf°)得厂r[)=2心)，应选(C).\BAA12>SA1>At/1-P(B)22c2I2oCI咒26十几一印宀、土"、、=---------1---------------------7•npcf!o2=------------------------------------------9应述(CJ.nnnri(8)【答案】(D).【解】由F(A|B)=P(A)得P(AB)=P(A)P(B),即事件独立,P(AB)P(A)P(B)于是P(A|B)=―=-=------=——=F(A)；P(B)P(B)由P(4|B)>P(A)得P(AB)>F(A)P(B),P(AB)从而P(A|B)=-P(B)1-P(A)-P(B)+P(AB)1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)1-P(B)=1-P(A)=P(A)；由P(A|B)>P(A|B)得P(AB)P(B)>P(A)-P(AB)1-P(B)，整理得P(AB)>P(A)P(B),则P(A|B)=P(AB)P(B)、P(A)P(B)PCB)=P(A)，应选(D).(9)【答案】(C).【解】N则eV)=e(乂)一e(£)=幻一“2=0；D(^)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)2/29一一一=—+———[Cov(Xi,Y)+Cov(X2,y)H-------Cov(X„,Y)]nnn22=空+丄一$[Cov(X|,Y!)+Cov(X2,y2)H-------Cov(X”，Y”)]nnn(10)［答案】(B).【解】由题乂〜N(11.5，+)，或兰—J"〜N(0,l),犯第二类错误的概率为P{X<11}"^1,5<-①(一1)=1-0(1),应选(E).二、填空题⑴)【答案】v-4*8djrJoj?2++22(12)【答案】三・【解]曲=dy/山=4fJ+2tdx则卸(13)【答案】【解】0I：yFtam+1)旷7T7C7T1Ax/dz2=0J*x2.2e+1—dT7_djr/dz""2e+1【解】令X=e',D哨则代入欧拉方程得d2y特征方程为A2—4=0,特征根为A)=—29入2=29d?v丁^--4/=0的通解为y=C!e_2/+C2e2/9原方程的通解为dt']1厂2y=―2十9X由J/(l)=19j/(l)二故y=x2.=2得Cl+C2=1,—2C]+2C2=2,解得Cj=0,C2=1,方法点评：形如工”3?">+a”_iz+•••+axjcy'+aoy—)的方程称为欧拉方程.令攵=e‘，则zj/=Dy=^,2=D(D—l)y=—坐，dtdrdrx"y("^=D(D—1)•••(D一nl)y,代入原方程得高阶常系数线性微分方程，求出其通解，再将t=\n.z代入即可得原方程的通解.（14）【答案】4tt.【解】设工所围成的几何体为0，由高斯公式得』无2dyc!ny2AzAjc+ndrd(2工+2』+l)du，Q由积分的奇偶性得dv=2JJdrdynd-ry=2•7T•1•2=4兀・3（15）【答案】y1a12a13【解】|小=21a22Q23=2(AI】+A2i+A3i)=3，则1a32a333Ah+A2i+A31=—（16）【答案】寺・0【解】（X,Y）的可能取值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）,P{X=0,Y=0}=—P{X=0,Y=l}=yp{x=i,y=o}=兀P{X=1,Y=1}=*3__3?_=10'2_1r=T2_1T-二亍3__3=To,由胡;'2由」;'21\J得E(X)=*,E(X2)=*,D(X)=扌；2'11得E（y）=y,E（y2）=y,o（y）2'由「；40』得e（xyu脣,10Z311Cov(X,y)^E(XY)-E(X)E(Y)=--T=-,P!-J^120T~T7■7丄三、解答题（17）【解】方法一/1+「e，Atlim----------e"—11sinx=lim1+Je'AtJsinx一e"+1(e"—1)sinxi-*•()=lim-------j.-*0匚.2...
