1990年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】x—3y—z+4=0.【解】显然所求平面的法向量为n={-1,3,1},所求平面为一（乂—l）+3（y—2）+（z+l）=0,即X—3y—z+4=0.（2）【答案】e2a.【解】lim=lim「(1----x-*°o|_\工2a'rax—a（3）【答案】1.1,|产（工）IW1,0,||>1.因为丨八工）$1,所以兀/（工）］=i.【解】兀2）］=【解】改变积分次序得pdjrpe-^dy=■2_2e»0dydj~Jo=fJ(、2_2ye'0120（5）【答案】2.【解】A=（af,a；,a；,cd）=因为r（A）=2,所以该向量组的秩为2.二、选择题⑴【答案】(A).【解】F'Q)=/(亍)(「’)'一/(工)(2)【答案】(A).【解】由f'Cjc)=[/(x)]2得f(x)=2f(.x)/，(x)=2\_f(x)]3,f^(.x)=2X3[/(x)]2//(x)=3!由归纳法得广">(工)=n\[/(x)]n+1，应选(A).(3)【答案】(C).=-e~V(e_J)-/(j:),应选(A).【解】因为sinna2noooow—且^2~收敛，所以Xn=1n=1叫巴绝对收敛n因为工发散，所以£（巴n=1"VZ7n=1inna14nn2发散，应选（C）.（4）【答案】（D）.【解】因为lim,-X—01——COSX=2,所以由极限保号性，存在S>0,当0<|工|<§时，亍->0.—COSJC因为1—cosz>0,所以于Q）>0=/（0）,故z=0为极小值点，应选（D）.（5）【答案】（B）.【解】令Qai+k2{ax—a2）=0,即（紅+怡2巾1—k2a2=0,因为aj.a2线性无关，所以kx+k2=0,—k2=0,或&i=0,k2=0,即a},at—a2线性无关，又因为5.5—a2为齐次线性方程组AX=0的解，所以a,.a,-a2为齐次线性方程组AX=0的基础解系；0]+0?01+0?而工为非齐次线性方程组AX=b的解，故k}ax+k^a}-«2）+o为AX=b的通解，应选（B）.（1）【解】「罗+：九=「ln（l+z）d（亠-）Jo（2—工）2Jo\2—X/=ln（l+z）I1f>_______1_______2—z|oJo（工一2）Q+1）=ln2+Tln|til|o=ln2_Tln2=Tln2-（2）【解】=2/i+/cosx•f；、oxd2z亍p=2（—ft+sinx•）+cosz•ff2+>cosx（—+sinx•危）djcdy=一2/n+（2sinx—j/cosjc）・f^2+cosjc•ff2ysinxcosx・f；2・（3）【解】特征方程为A2+4A+4=0,特征根为A!=入2=—2.yf+\yf+=0的通解为，=（C】+C2J：）e~2j;令yr，+4j/+4y=e~2x的特解为y0）=ax2e~2x，代入得a=故j/‘+4j/+4y=e~力的通解为y=（G+C2Z）e%+y^2e-2x（C1,C2为任意常数）.四、【解】由恤|也|=1得幕级数的收敛半径R=l,oo|an|当工=±1时，（2z?+l）（土1）"f°°（xf°°）,即jc=+1时，幕级数发散，故幕级数的收敛域为（一1,1）・令SQ）=刀（2”+1）才，n=0则S（工）=2x丫nx"T+工jcn=2x（刀工"）'+-—-—n=1n=0n=1"=2乂（宀），+亠=丄片'1—无丿1—T（1—H）五、【解】方法一令50：z=0（工2+j/W4）,取下侧，I=yzdzAjc+2drdy—JJyzdzdx+2dxdy,*0工0yzdzAx+2djcdj^=jjj*zd?7=J2d°Jr,』-3sin爭cos（pdr而㉛工+工0007.sin卩cos2r3dr=4兀o=2tcJJwdNchz+2djrdy=『2吐dy=—2故/=12tt.jjdzd;y=—8k,2+/<4方法二I=jjWdzdx+2d«zdjy=jjyzdzAx+2jJdxdy,令曲面丫位于hOn平面右侧的部分为X】，由对称性得jjyzdzdx=2jJdzdx=2jj"工1D“=2d0Jo.r2sin0•V4：—r2dr=4o-r2a/4—r2dror=2sint—424sin2^•4cos2zdz=64o«2(sin21—sin4Z)dzo=64(1,7T317T\224'2''2)=4兀zJ0—工$—Jdzda:2jjdzdy=2JJdxdy=2X4兀=8tt,2%故/=JJwdNdz+2d;rdy=12兀・六、【证明】因为不恒为常数，且f(a)=fz所以存在cea,b),使得/(c)h/(q),不妨设y(c)>g,由拉格朗日中值定理，存在we(q,c)ua,b),使得/，◎=“)-空>0.c—a七、【解】由A(E-CTB)TCT=E得ACC(E-C_1B)]t=E,即A(C—B)T=E,解得A=[(C—B)t〕t,1()21而c—B=00001000121000III3210043210，得100O'210032109、432L01000、0-210001210101-21000134'23)T(C--B=120b00o'0010001001000100L000■100-210A=1-2101—2八、【解】，则f=XtAX,A—1由IAE-A|=22-2A-44=入2(入一9)=0,得入1=入2=0,入3=9,-24A-41200000/1_2由0E-Ao］得入1=A2=0对应的线性无关的特征向量为丄2令趴由9E000得入3=9对应的特征向量为«3=I—2I'2'（力，0】）X=QY2__2_T则f=xtax9易，所求的正交变换为X=QY,九、【解】设点P的坐标为（乂，$）,OP={x,y},|F|=y/x2y2因为F的方向垂直于OP且与y轴正向的夹角小于今,所”+—“F。W=J(—+无dy=y，乂而yL+BA(—y)d«z+工dp+L+BA(—+xdy=2『山dy=2X*兀(血)'=2兀,D_(—y)dr+工dy9AB{...
