1989年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)已知厂(3)=2,则恤八3_策_〃3)=h_oZn(2)设/'(工)是连续函数，且广(工)=2十2〔则f(z)=.J0(3)设平面曲线L为下半圆y=—J\一x1，则曲线积分J(j:2+j/2)ds=________.(4)向量场u(x,y,z)~jcy2i~\~yezjln(l+z2)k在点(1,1,0)处的散度divu=________./300\/I°0](5)设矩阵A=140,E=010，则逆矩阵(A-2E)'003''00r二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)当2>0时，曲线y=j;sin丄().x(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线，也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，也无铅直渐近线(2)已知曲面z=4—/—J/上点P处的切平面平行于平面2工+2夕+z—1=0,则点P的坐标为().(A)(l,-1,2)(B)(-1,1,2)(0(1,1,2)(D)(-1,—1,2)(3)设线性无关的函数％，夕2‘夕3都是二阶非齐次线性微分方程y"+p=fG)的特解,C1?C2为任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为().(A)C1j/1+C23/2(E)G_yi+C2y2—(Ci+C2)^3(OCqi+C2j/2—(1一Ci—C2)j/3(D)C1j/1+C2y2+(1—Ci—C2)y3(4)设函数/(j：)=2(0j;Vl),S(z)=另b”sinn(—00V工V+°°),其中n=1b„=2j"/Xz)sin"兀zdz("=1,2,…)，则3(----)=().(A)_当(B)-4-(C)3(D)22442(5)设A为4阶矩阵，且|A|=0,则A中().(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)设z=f〈2工—y)+g(z,zy),其中二阶可导，g(“，p)具有二阶连续偏导数，求djcdy(2)设曲线积分fxy2da:(p{x)ydy与路径无关9其中卩(工)具有连续的导数，且爭(0)=0,Jcr(i,i)计算jcy2(\x的值.J(0,0)(3)计算三重积分(jc+z)dv,其中0是由z=Vx2+y2与z=^1—x2—y2所围成的区域.n四、（本题满分6分）1—I—y将函数于（工）=arctan尸三展开成工的幕级数.1—X五、（本题满分7分）设于（2）=sinx—1-Of（r）dn其中/（^）为连续函数，求/Q）.0六、（本题满分7分）证明：方程In工==------f\/1—cos2工dx在区间（0?+°°）内有且仅有两个不同的实根.eJo七、（本题满分6分）■Z1+工3=入，问A为何值时，线性方程组丿4孙+厂+2g=入+2,有解，并求出解的一般形式.1+g2+4z3=2入+3八、(本题满分8分)设入为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明:(1)_为A】的特征值；人(2)字为A的伴随矩阵A*的特征值.人九、(本题满分9分)设半径为R的球面丫的球心在定球面^:2+y2+z2=a2(a>0)上，问当R取何值时，球面工位于定球面内部的那部分面积最大？十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分)(1)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(E)=0.6,以及条件概率P(B|A)=0.8,则P(AUB)=________.(2)甲、乙两人独立对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,已知目标被击中，则它是甲击中的概率为________.(3)若随机变量£在(1,6)上服从均匀分布，则方程工2+%十1=0有实根的概率为________.十一、(本题满分6分)设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差为施的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z=2X—Y+3的概率密度函数.