1993年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)函数FQ)=「(2—厶)业&>0)的单调减区间为________.Ji4t2_i_9v2=12(2)由曲线’绕夕轴旋转一周而得到的旋转曲面在点(0,73,72)处的指向外G=0侧的单位法向量为________.(3)设函数fO=KX+2(—7TVHV兀)的傅里叶级数展开式为豊+丫(a”cosnx+/n=lbnsinnx),则其中系数久的值为________.(4)设数量场u=InJx2++z2，则div(gradu)=_________.(5)设兀阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为72-1,则线性方程组AX=0的通解为________.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)fsinx(1)设/(x)=sin八ck,g(z)=工3+d,则当工0时，/"(工)是g(工)的().J0(A)等价无穷小(E)同阶但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小(2)双纽线(工2+)2)2=工2_y2所围成的区域面积可用定积分表示为().(A)2f4cos26d3J0(02[4a/cos29(J0(3)设有直线斗卫与L2：f—则L|与L2的夹角为().丄—/丄\2y十n=39,n_4cos20d00(B)41(D)—cos220d02Jo2(A)召o①)守(B)手4©伶).(4)设曲线积分J[/Xh)—e"]sinjydz一fG)cosy^y与路径无关，其中/(jc)具有一阶连续导数，且/(0)=0,则/(^)等于(「乂—eJeJ—e_x(A)(B)e"+e(D)l--±_XI—X(C)1I123\(5)已知Q=24t,P为3阶非零矩阵，且满足PQ=O,!3iJ().'369'(A)/=6时,P的秩必为1(E)/—6时,P的秩必为2(C)tH6时,P的秩必为1(D)/工6时,P的秩必为2三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)求lim(sin?+cos—).x—»\xT'(2)求［37-d.z.J一1(3)求微分方程X2y'+xy=3/满足初始条件yL=i=1的特解.四、(本题满分6分)计算曲面积分『2>zzd;ydz+yz^z^oc—z'dzdjy,其中X是由曲面z=J工%+了？与z=J2—芒—J/'所围立体表面的外侧.五、（本题满分7分）求级数£（-"+】）的和.71=0/六、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）（1）设在［0,+*）上函数fS有连续导数，且十（工）0,/（0）<0.证明/（工）在（0,+°°）内有且仅有一个零点.(2)设b>a〉e,证明：q">b°.七、（本题满分8分）已知二次型/（J7!,22，工3）=2#+2+3+2ax2JC3>0）,通过正交变换化为标准形f=y\+2疋+5诚，求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A是nXm矩阵，B是mXn矩阵，其中n<m,E是九阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关.九、(本题满分6分)设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数◎沿夕轴正向运动，物体£从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2u,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1)一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的产品是次品的概率为________.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量y=X2在(0,4)内的概率密度f心)=________•十一、(本题满分6分)设随机变量X的概率密度为/■©)=*「》,-oo<^<+OO.(1)求X的数学期望E(X)和方差D(X)；(2)求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？(3)问X与|X|是否相互独立？为什么？