2018年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（D）.【解】方法一对/'（工）=cos/H|,心）_/（0）=讪cos/T订-1=_£恤Ll!不存在，即/（^）=cos^TT在z=00XLoXZlox处不可导，应选（D）.方法二当/（jc）=|工|sin||时,f（jr）-/（0）〜工2,/（工）在工=0处可导且导数为0,不选（A）；3~2当/（X）=|工Isin/工I时，/（^）-/（0）〜II'，/'（工）在工=0处可导且导数为0,不选（E）；当/（x）-cos|JCI时〜一*攵2,于（工）在工=0处可导且导数为0,不选（C）,应选（D）.⑵【答案】（E）.【解】设切点为（工0，九，6）,则(2I2之0=无0十夕0，y(2jc092y0—1)•(1—1?0)=09|(2Ho,2j/o，—1)•(工0—1,夕0,20)=0,[•To=0,卜0=1,解之得屮yo=0，或屮yo=1,〔J=0,〔J=2,故所求切平面为z=0或2x+2》—z=2.应选(E).（3）【答案】（B）.【解】n=02n+3(2/?+1)!=cos1+2sin1,应选（B）.（4）【答案】（C）.2【解】(1+工)1+工22工\1+川丿当—守冬工w守时,i+ycosx>i>[(l+T^TT)^>〕[1山>[\即K>M>N.应选(C).~~2J~~2J~~2e（5）【答案】（A）.【解】方法一I110\/I1/I0-1\令M=01】,A=0]B=011'o0I101/'o01-101/I1一1\I10C=010,D=01'o01丿'o0显然矩阵A,B,C,D的特征值都是4=入2=入3=19'o-10\/O0-1,E-A=000''0-100,-cJ：'o-1/00100,E-D=0000o''o00因为r(E-M)=r(E-A)=2,所以应选(A).方法二z1—1°\z11°\取p=010,则P1_(110,'o0J'o01'I1110\/!1°\I1因为pT011P=011，所以（，1与0'o01101>'00J'0（6）【答案】(A).【解】(A,AB)=A(E,B)9显然r（A,AB)=r[_A(E,B)]W厂(A)9；相似，应选（A）.01'又r(A,AB)>r(A),于是厂(A,AB)=r(A),应选(A).（7）【答案】（A）.【解】f/(jr)da-=f/(jc)djr=£[/Udz—0.3,JoJ12J0PCXV0)=I/(j?)djr=If(j2)dx一I/(jc)djr=0.5一0.3=0.2,应选(A).J—OOJ—OOJ0⑻【答案】(D).【解】若/已知，则假设的接受域：\u\<ua，其中一为正态分布的斗（上）分位数.772若<72未知，则假设Ho的接受域：|z|<z„（7?—1）,其中Z„（72—1）为自由度是n—1的7TryI分布的守（上）分位数.显然检验水平a变小，接受域都变大.应选（D）.二、填空题(9)【答案】一2.【解】因为lim—j-*osinkx]1一tanx1+tanjc—1)=limt\/losinkx—2tan攵1+tanxlim-—■r-*okx_2z1+tanjc~k故limH-*01—tanx1+tanx_2_=ek=e，艮卩怡=—2.(10)【答案】2(ln2-1)・【解】/(l)=(2-r)，|J=1=21n2,[xff\x)dj?=[x(jc)=jr/z(j?)I—[ff(x)d:r=/z(1)—/(1)+/(0)J0J0IoJo=21n2—2=2(ln2—1).(11)[答案】i_k.ijk【解】rotF(1,1,0)=aa齐=(yi—zj一jck)|=i—k1,1,0)—yzzx(1,1,0)(12)【答案】一寻【解】(工》+yz十hz)ds=[(z+夕+z)2—(j:2y2+z2)Ud.s'(13)【答案】—1.【解】5,02是A的线性无关的特征向量，则a}.a2是的线性无关的特征向量.由A2(at+a2)=5+a2,得ai+a?也为<的特征向量，因此"有二重特征值入=1.因为A有两个不同的特征值，所以A的特征值为右=—1,入2=1，于是|A|=-1.(14)L答案】4【解】由BC=0,得P(BC)=0,因为ABCCZBC,所以P(ABC)=0.P(AC|ABUC)=P^ACCABUC)]P(AEUC)PiCABC)U(AC)]PCABUC)P(AC)PCABUC)P(A)P(C)P(A)P(B)+P(C)—P(ABC)和©|x|+P(C)-0_1I解得p(c)=4三、解答题(15)【解】je2aarctanJez—1djr丄=_2arctanJer—1de2r-^-e2rarctanJez—1----e2rdarctan』€一]=-^-e2jarctanyer—1----24.2jc-jir—-------dx=—e2rarctanJe'r—1----eJdJ—1艮一122J]______]______r______=—e2jarctan』€一]--(e^Ve—1—J」€—\de")]__________i__________9-=—e2rarctanJ€—]----[er\/er—1------(er—1)2]+C=-^-e2jarctan%/er—1----(e7+2)J€—]+C.Z6(16)【解】设铁丝分成的三段长分别是x,y,z,则e+jz+n=29且依次围成的圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和为2+(汀+毎)Y+召+符22/o'构造拉格朗日函数：L(h)=+—z2+入(工+y+z—2)4兀1636L：=-A=09Z7C兀+4+3"/3匸=寻+入0,L：=豊乂+A=0,0,No兀+4+3^/36^37t+4+3'此时/(工0，夕0，Zo)又当x+y+z=2^xyz=0时,/(jf,y,z)的最小值为/IO,所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为f(a:0,y0,z0)=4+373/4+3®1(17)【解】补曲面£：37+拧=］取后侧，。为丫与5所围成的立体•利用高斯公式可得xd^dz+(y3+2)dzdj?+z3d.rdj/一Lrd^dz+(3/...
