2000年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】7T方法一—x2dx=fa/1—(jc—l)2d(j?—1)=J0a/1—x2dj?方法二1/----------帀x=sintV1—无=o根据定积分的几何应用，「屆—工认即以曲线J0y=Jlx—jc2（0£工W1）为曲边的曲边梯形的面积.如图所示，显然［丿2工-工f=中.⑵【答案】千1_卄2_「2-46cos2/d/=/2=£xKo2【解】"={F：,F；,F；}|（1,一2,2）={2工，4y,6z}|（i,_2,2）={2,—8,12},qr1yi—I—2N2则曲面在点（1.—2,2）处的法线方程为、工占=乞丁.（3）【答案】y=q+C2（C】，C2为任意常数）.X【解】方法一由xy"+33/'=0,得y"-----y'=0.X解得/hCojM=$，积分得原方程的通解为y=^+C2（C15C2为任意常数）.XJC方法二由砂"+3yf=0,得x7,y"+3x2yf=0或（x3y'Y=0.「C于是工s，=c。，解得y=-|,积分得原方程通解为^=4+C2（C.,C2为任意常数）.jcx（4）【答案】一1.【解】因为原方程组无解，所以r（A）<r（A）,而r（A）三3,所以r（A）<3.于是|A1=0,解得a=-1或a=3._I121/I21!1\/I211当a=3时，由A=”35Y->0-1-*°—131'13—2io''o1-3；-1''0000得r（A）=r（A）=2,原方程组有无数个解，所以a工3,故a==-1.2(5)【答案】y.【解】PCAB)=PCA)-F(AB),PCAB)=P(B)-P(AB),由P(AB)=P(AB),得P(A)=P(B).--------------1«由P(AB)=P(A+B)=l-P(A+B)=y,得P(A+B)=§.又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A)-P2(A),oo得P2(A)-2P(A)+y=0,解得P(A)=y.二、选择题(6)【答案】(A).【解】由厂Q)gQ)TQ)g‘Q)<o,得&(工)」g(工)即牛¥为减函数，当aV工时，有牛牛>力黑>侏.gdg(工)glb)于是/'(•z)g(b)>f(b)gO,应选(A).方法点评：本题考查函数单调性.若y'(H)>o或y'(_z)<o时，/•&)严格递增或严格递减.注意如下技巧：若题中出现/'(_r)g(>z)—/■(H)g'(_z)时，一般构造辅助函数；g(H)若题中出现f'(j;)+/(a-)gz(j：),一般构造辅助函数/(JC)g(J7).(7)【答案】(C).【解】由对面积的曲面积分的对称性质，得又因为sixdS=JJydSsiFds=.sjjj/dS=0,s』ndS9所以』ndS=4JJS]SS]zdSZ(1S9s】xdS9应选(C).方法点评：二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分有类似的对称性,对面积的曲面积分的对称性如下：若》关于jrOy平面对称，其中工0夕平面上方为I】，则有]J/(z,z)dS=J0,12jJ/(jr,w)dS,I习f(.x,y,—z)=—f(工,y,z),f(a:,y,—2)=f{x,y,z).其他两种情形同上.(8)【答案】(D).【解】方法一令S”="]+“2------"”，因为工"”收敛，所以lim“”=0且limS„存在.”=]"-88设limS”=S，令S：=("]+“2)+("2+"3)+…+("”+«„+i)=2S”一"i+“卄i.OO因为limS：,=2S—-，所以级数工("”+"”+i)收敛，应选(D).心00”=1■(—1\Hg/_1\W°°1方法二取Un=丄1、，级数工|/,1、收敛，而工丄1、发散，(A)不对;ln(z?+1)/z=1ln(n+1)z/=1nln(7?+1)取"”=上?，级数》>7=工丄发散，(B)不对；寸Tln=\”=1"(—1\n~l00吕1取U”='，级数工(“2”T—“2”)=Y—发散，(C)不对，应选(D).nn=\n=\n(9)【答案】(D).【解】令A=(a1.a?,…，a”)，B=(0i，02，・"‘0,”).由ai,a2,,am线性无关，得r(A)=m.若山，卩-…仇线性无关，则r(B)=m,因为r(A)=r(B)所以矩阵A.B等价；反之,若矩阵A.B等价，则r(A)—rCB),因为r(A)—加，所以r(B)=加，又因为矩阵的秩与矩阵列向量组的秩相等，所以你，02,…，血的秩为加，即你心，…0”线性无关，应选(D).(10)【答案】(E).【解】W诃不相关的充分必要条件是Cov(f，^)=0.而Cov(Wq)=Cov(X+Y,X—Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=D(X)-D(Y),又D(X)=E(X2)-[E(X)T，D(Y)=E(Y2)~[E(Y)]2,所以不相关的充分必要条件是D(X)=D(Y),即E(X2)~[E(X)J2=E(Y2)-[E(Y)]2,应选(E).三、解答题(11)【解】—.1/2+sinj-\2-he7由limT+II=lim-------r+limz-o+'l+e’11'乂_°*1+=0+1=1,—.1/2+eJ.sinjc\94-e7sinrlim(TIxIj=lim------------lim--------=2—1=19/2+eTsinx\得啸匚/+甘)7(12)【解】由复合函数求偏导法则，得券=yf；+—fi—气g'，dxyxdy=f\+y(工咒y〃-------gX1l—i£〃无〃〃1/y>—f2+^yf11J22gsyyQ(«Z9』)=(13)【解】令PCx.y)=,2i24j?+ydQdpy2—4工23jc(4jc2+y2)2((乂，』)#(0,0)).如图所示，作L0：4^2+y2=r2(r>0且L。位于L内9取逆时针方向)，设L,与L围成的区域为Dl9L0围...
