1993年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】（0，*）.【解】由F'（_r）=2-----丄=0得z==-,当0<zV=-时F'Q）<0,7T44故FCz）的单调减区间为（o,*）.（2）【答案】｛o,響，字｝.【解】旋转曲面方程为》：3川+2/+3/=12,法向量为n=｛6工，4y,6z｝（o,好阿=｛o,4a/3,672｝，所求的单位法向量为“°=｛o,響，字｝•（3）【答案】y.1【解】b37Tf(x)sin3j:Ax=2xsin3j;dx0----Jxd(cos3工)=----xcos3h|°+fos3M=年（4）【答案】]x2+y2+z2・【解]graddu1_(____t___________y__________z_____3无'9I\x2y2+z2x2y2z2x2y2-z2则div(grad“)=訂Q2+-T--；T)+訂C+J+j)+£(/+；+»)y2+z2—x2x2z2—y2x2y2—z2=Cx2+y2+z2)2十Cx2+y2+z2)2十(工$+歹2+/)2_]无？+y2+z2・(5)【答案】X=上(1,1,・・・，1)丁(上为任意常数).【解】因为r(A)=n-l,所以AX=0的基础解系含一个线性无关的解向量,'1、又因为A.=0,所以AX=0的通解为X=肛1,1,・・・，1）丁4为任意常数）.1,二、选择题（1）【答案】（B）.【解】,v/(j;)[.cosx•sin(sin2x)由lim-------=lim---------------------------x-*0X工~*03工=+得/•&)13又g（z）〜工r故fQ）是g&）的同阶但非等价的无穷小，应选（B）.（2）【答案】（A）.【解】双纽线（/+y12*）2=x2—y2的极坐标方程为r2=cos20,由对称性得双纽线所围成的面积为1~2~r~—-|-cos1XXxd(e^—1)7eJ-1令J\=E，即无=ln(1+Z2),则A=4X£「cos20dd=2[4cos29dd,2JoJo应选（A）.（3）【答案】（C）.【解】直线b的方向向量为s,=直线L2的方向向量为S2={1,-1,0}X{0,2,1}={-1,-1,2},设两直线的夹角为0,由cos0=J5|—『"|=£得0=手，应选（C）.ISiI•IS2|23（4）【答案】（B）.、【解】令P（z,y）=[/（工）一e*]siny,Q（x,y）=—）cosy,nc□p由-—=—，得厂（工）+/'（工）一e"=0,即/'（工）+/'（工）=eJ,oxoy解得/（j:）=•e'dr+c]J=（*尹+C）e_J,1ex—e~J再由/（0）=0得C=----9故/（工）=---------，应选（E）.（5）【答案】（C）.【解】由PQ=O得厂（P）+厂（Q）W3,当tH6时厂（Q）=2,则厂（P）<1,再由p为非零矩阵得厂（p）$1,故r（P）=1,应选（C）.lim(sin-----pcosx-*°°\Xe2.⑴【解】（2）【解】方法一•(sin—+cos——1)vx工'2p?d(J£—])=2工J€—]JJ£—]dz=Jz丄7曲=21+厂11+z2dz=2t—2arctant+C=2J€—]—2arctanJ€—]+C,故...........dx=(2x—4)J£—]+4arctanJ£—]+C.J£—]______9/方法二令v?—1=Z，则无=ln(1+=-------dz,1+rjcex—qjc=—3-吨卄）4+鬥・伞&t1+z2=2ln(1+z2)dz=2Hn(1+z2)—2t•2t.-------dz1+r2=2Hn(1+Z2)—+4arctantC=(2x—4)J£—]+4arctanJ£—]+C.(3)【解】将方程jc2yf+xy=y2化为3/+—y=\y2,工x人mildiZ11令况=3/，贝!j-----------u=------,djrxx解得"=卩(一占)古汁山+中4"=(右+c)z，即+=(占+C)工,由yd)=1得C=斗，故满足条件的特解为y=/1+J7四、【解】由VJC2+y2=5/2—j:2—y2得x2+y2=1,曲面》所围成的几何体Q={(工，夕，2)Ij:2+y2Wl,a/j?2+y2WnWV2—x2—y2},由高斯公式得JJ2xzdyAz+yzAzdx—z2dxAy=2jjj(2z+z—2z)dv=njjjzdvn5/2-x2-y2Ezd2=JJd"dyG/wid0(r—r3)dr=J02(1—x2—y2)djrdy0'2k五、【解】令S(z)=工(/—兀+1)工"，n=0由lim”f00—=1得级数工(川一"+l)z”的收敛半径为R=1.1Q”1”=o当工=士1时级数发散，故级数的收敛域为(一1,1)・由S(无)=艺(n2—?1+l)xw=j:2工n(n—l)xn~2+工工n=Qn—2n=Q故工n=0S(-l)w(n2-n+1)2”2T〃+11—X1—2x+3工$(1—"(_T)=H-六、【证明】(1)/(工)一八0)=(0VWVh),由k〉0得)>f(0)+kjc,于是lim/(x)=+°°.再由/(0)V0得于(工)在(0,+oo)内至少有一个零点，因为fO^k>0,所以/(^)在［0,+oo)上严格递增，故零点是唯一的.(2)a6>b"等价于61na—aIn6>0.令/Xh)=x\na—a\nx/(a)=0,f\jc)=Ina---->0(j:>a),x(/(a)=0,由(得于(工)>0(z>a),\ff(j;)〉0(z>a),由b>a得/(&)〉0,故a">b。・/200\严i\七、【解】令人=03a,X=jc2\9f=XtAX,\nJ/0a3x3显然矩阵A的特征值为入i=1,入2=2,入3=5,00由|A|=10得9—a2=5,解得a=2,即A=1032'o23-100由E-A=0-2由2E—A=由5E—A=0000300_20_1-202-2规范化得rII10_2〜O11''o0o'-2010-2_100/'o]I1_2〜0''o20010得入1=1对应的特征向量为a,=[―寸1得...
