1997年数学（一）真题解析一、填空题3⑴【答案】y.3sinx+2cos—【解］映(1+cosx)ln(l+x)3sinz+工$cos—1x=—ln(l+z)3sin工+工2cos—1jC=£lim(3巴三+zcos2x-*0\x=vlimZX-*Ox（2）【答案】（一2,4）.【解】因为幕级数工;“a”（z—1）"七的收敛半径与的收敛半径相同，”=1”=0所以工皿”（工一1）宀的收敛半径为R=3,故所求收敛区间为一3Vz-lV3,即（一2,4）.n=l（3）【答案】y=—jc+e2.【解】对数螺线的参数方程为5=ecos9,=esin0.当0=守时，（工，歹）=（0,e2）,2d』=dy/d&djrdx/d0cos9+sin0cos9—sin9曲IdzI0=JL故所求切线的直角坐标方程为y—e2=—工，或;y=—z+J.（4）【答案】一3.【解】方法一因为B^O且AB=O,所以方程组AX=0有非零解，12-2于是|A|=0,而由\A\=4t3=7t+21=0,得£=—3.3-11方法二由AB=O得厂(A)+厂(〃)£3,再由B^O得厂(3)$1,于是r(A)<2<3,故|A|=0,解得t=-3.2(5)【答案】百・□【解】令人=｛第一个人取黄球｝,A2=｛第一个人取白球｝,B=｛第二个人取黄球｝,231Q90PCAJ=—,P(A2)=—,P(B|AJ=—,P(B|A2)=□□4949则P(B)=PCA^PCB|AJ+P(A2)P(B|A2)219,3202=—X—-1——X—=:—5495495'二、选择题(1)【答案】(C).【解】因为lim/Xz9y)=£工limf(x=--，所以f(<x,3/)在(0,0)处不连续；■Tf0LiX-*0Ly=x由lim了‘°)---『°‘°)=lim—=0得(0,0)=0,同理fy(0,0)=0,—ox—0z—ox即y(z,y)在(0,0)处可偏导，应选(C).(2)【答案】(B).【解】由/'&)<0得于(工)为单调减函数，于是Si=J/(j:)dj7>J_f(b)dx=f—a)=S2;再由f"S>0得/(x)为凹函数，rt>i于是Si=]<y：/(a)+/(&)](&-a)=S3,即S2<S,<S3,应选(B).(3)【答案】(A).【解】由周期函数定积分的平移性质得F(x)=[e"11'sinrdt=[[e""'sint+严_‘>sin(—t)]dtJ—nJ0当te[0,7t]时,(es,n,-e-sin,)sintMO,则FQ)>0,故F(x)为正常数，应选(A).（4）【答案】（D）.fajX+bxy=—Ci,【解】三条直线交于一点的充分必要条件是方程组＜a2x+b2y=-c2，有唯一解，L3-^+b3y=-5即r(A)=r(A)23故ai,a2,a3线性相关，而＜a2线性无关，应选（D）.（5）【答案】（D）.【解】已知D(X)=4,D(Y)=2,因为X,Y相互独立，所以D(3X—2Y)=9D(X)+4D(Y)=36十8=44,应选(D).（1）【解】平面曲线$=2Z，绕z轴旋转一周形成的曲面为S：^2+j；2=2z,1工=0则Q={Cx,y,z)|(乂，》)6D=,0WzW8},其中D=={(z,y)Id+y'WZz},于是I=jjj(jr2+y2)dun'8=]ds：jj(j;2y2)da:dy=2k|dz0"D.•727r3dro=2tcz2dz=Jo1024tt~~3-0(2)【解】方法一(x=cost,令CAy=sint,(起点t=2兀，终点t=0)，则[n=2—cost+sint(n—jOdr+(工一N)dy+(H—y)dz(2—cosZ)(—sin£)dr+(2cost—2—sint)cos£dr+(cost—sinE)(sint+cost)dt2k=(3cos2Z—sin2Z—2sint—2cosE)dtJ2n'2n7=—3Jcos2zdz+|sin2tdt=—12|cos2zdz+4|2sin21dz0oo=_8xTxT=_27r-方法二设c所在的截口平面块为工，方向向下,取={—1,1,—1},方向余弦为cosa=----9cosB=—,cosV373(N—+(工一z)dy+(a:—y)dz=c2+/©=-2Ajcdy=—2兀・（3）【解】由题意得d«z-T-=b工(N—工)9dtx(0)=Ho,II/1jr由工(N—乂)=kAt得NlnN^7二怂+C，dxNh°严由乂（0）=冲得C=亓InU;，故鼻⑺=N—s+.oe--四、（1）【解】曲面z=J：2+y2在点（1,—2,5）的法向量为n={2z,2y,—l}（i,-2,5）即平面7T的法向量为”={2,-4,-1},则平面7T的方程为={2,—4?—1},兀：2(无一1)—4(y+2)—(n—5)=0,B卩兀：2工—4：y—z—5=0.直线L的方向向量为$={1,1,0}X{1—1}=因为L在平面7T上，所以m•s=0,解得a=—5.\z+v+6=0,fv=—t—b得代入平面TT得b=—2,jc—53/一z一3=0+56一3,艮卩q=—5,5=—2.⑵【解】<=/z(eJsiny^e1siny,oxf(sin3/)excosy,d2Z3j:2/，z(ersin3/)(eJsiny)2+f\exsiny)siny,{—191S—1},由—y=/z，(exsinjz)(excosyY—ffCeTsiny)exsiny,3y□2n2n2—yH----y=f"gsiny)e2x，令eJsiny=u由—y+=e2xz得f"(u)—f(u)=0,dxdydjcdyff/Cu)—/(u)=0的通解为/(w)=C}e~u+C2eu(C\9C2为任意常数).五、【解】由lim“m=A得/XO)=0,f'(0)=A,工f0X当z=0时9卩(0)=0;[f(u)du当zHO时，°(z)=—f(z£)d(Ht)=--------------,乂JoJC0,•Z=09即卩(w)=V/(u)duoX乂Ho.jcf(J7)—|/(u)du当工工0时9卩'(工)J0~2~JC当乂=0时，由lim也二凹=limx-»0/(zz)du02X=斗...
