1989年数学（一）真题解析—、填空题（1）【答案】一1・2hA—0/(3-A)-/(3)=_|/(3)=_l-h（2）【答案】z—1.【解】令A=|\q)cLz,则/(x)=x+2A,对此等式两边从0到1积分得A=£+2A,JoZ解得A=—，故/（工）=x—1.（3）【答案】7T.【解】方法一(工？4-y2)ds=[dsLJL7T・lx=COSt,方法二令（兀£/冬2兀），则\y=sintJ(x2+j/2)ds(cos2Z+sin21)5/(—sint)2+cos2Zdt=7r.（4）【答案】2.【解】由divu=d(j：y2)3(yez)3[_xln(l+z2)]Ojc3ydz2xz1+z2y2+b+2.得divuI（1,1,0）（5）【答案】一斗【解】方法一00}10T01&#039;I10°\A一2E=120&#039;o0J由11000:120:001:0010001&#039;&#039;o0~20010020:10°\00i一i1o卜010:00JI011120°\o，得J10°\(A—2E)T=-4-4-022001方法二I1A-2E=1&#039;o020，其中〃=cC）&#039;1°),C=(1),2/1由(B\E)=1_101丄7100\丄丄0•22001二、选择题⑴【答案】（A）.1sin—【解】由limxsin一=lim―产~=1,得；y=1为水平渐近线；工fOOXX-*°°1（1）【解】字=2厂+g；+yg；,-=—^f+xgxz+g&#039;i+xygzz-djcdjcdy（2）【解】方法一P=xy12,Q=<p（H）y9因为曲线积分与路径无关，所以薯=碧，即卩&#039;Q）=2乂，解得卩（无）=x2+C,由卩（0）=0得C=O9故申（工）=x2；r（i,i）rifi]xy2dx+（p（.x）ydy=xy2dx+x2ydy=Odw+ydy=—・J（o,o）J（o,o）JoJoZr由limzsin丄=0,得曲线y=工sin丄无铅直渐近线，应选（A）.•X-*■0JCJC（2）【答案】（C）.【解】设点P的坐标为（工。，了。，4—亦一式），该点法向量为n={2乂。，2%,1},由=+得工0=I，%=1,故所求的点为（1,1,2）,应选（C）.（3）【答案】（D）.【解】显然小一『3，》2—『3为y"+p（H）y&#039;+g（z）y=0的两个线性无关解，故y"+p（z）y&#039;+gQ）y=/"（工）的通解为y=Ci®—，3）+C2（y2—》3）+$3=Gy】+C2y2+（1—C!—C2）y3»应选（D）.（4）【答案】（B）.【解】对/（工）进行奇延拓，将/Q）展成正弦级数，则S（—*）=-S（y），因为工=*为函数/Q）的连续点，所以S=（*）=/（y）=+，故S（-y）=_*，应选（B）.（5）【答案】（C）.【解】方法一因为|A|=0,所以r（A）<4,从而矩阵A的列向量组线性相关，即必有一列可由其余0列线性表示，应选（C）.401方法二取A=o110000000，显然|A|=0,01.矩阵A任何一列元素都不全为零，任何两列都不成比例，第4列不是第1,2,3列的线性组合，即排除（A）（B）（D）,应选（C）.方法二P=xy2,Q=（p^x}yj由箸=診得"）=2工，解得卩（工）=x2C,由卩（0）=0得C=0,故卩（工）=x2•（1,1）&#039;(1,1)xy2dx(p{x)ydy=(0,0)(0,0)jcy2djcx2ydy=■(1,1)(0,0)iz122\_122d(牙Hy)=—Xy(i,i)(0,0)1_（3）【解】方法一由Vr2+y2=得。在工Oy平面上的投影区域为D：^2+j»2<y,由对称性得业Q乂du=09于是n5/l-x2~y2QZzdzzdv=jjdj?dj,nd=訝(1—2兴一20d_zdy=『(*—工DDJoJ02—A?)ctrdy01方法二jcdv=。&#039;即jjjQ+z)du=JC令・由对称性得业n=rcosOsincp,=rsinOsin卩，(0£0£2兀,0£卩£于，0£厂£1)9则Z=rcos(p0rcos(p•r2sincpdro2兀4coscp・sino&#039;r3dr=•-^-sin;0221~2[2(PT7To=T四、【解】f\jc）=-----1+(1—2)+(1+工)證）11+jc2(1—H)2f\x)的幕级数为f&#039;S=£(—1)"八(_1<1),n=0再由fCx)—/(0)=[frCt&#039;fdt=£m八+1得Jo”=。2"+1心）F（o）+J>Sd心于+£缶八注意到乂=—1时/（^）有定义且级数手+£宀收敛，4„=02"+100/_-I\n故/（X）关于工的無级数为y（z）=—+ST1—r^2n+1（-Kx<1）.4”=o2n+1五、【解】由]（工一Z）/（^）dz=x\/（Z）dz—[tf（t）dt得J0J0J0心）=+J两边求导得厂(工)=cosx—If(z)dz,或厂(工)+[=cosx,J0J0f\x)+Jf(Z)d^=cosX两边再求导得f"(jc)+/(x)=—sinx,特征方程为A2+l=0,特征根为小,2=士i，ff\x)+/(x)=0的通解为/(x)=C]cosx+C2sinx;令)+fCx)=—sint的特解为fo(工)=t(acosx+6sinx),代入得a=*=0,则原方程的通解为fQ)=Geosx+C2sinj:+专~cosx,11jr再由f(0)=0,/z(0)=1,得Ci=0,C2=迈■，故于(工)=迈-sinx+—cosx.六、【证明】a/1—cos2jccLr=V2sin2j;dr=^2sinxdx=2^2,J0J0J0原方程即为lnx==--272.e令于（工）=In-Tii-------F2罷，由f\jc)==0,得工=e,e-------------------------------xef‘a)=—，由/，z(e)=----VO得z=e为)的最大值点,xe最大值M=/(e)=2髭＞0,因为lim/(□:)=lim/(x)=—所以/...