2024年全国硕士研究生招生考试数学一解析一、选择题解产关于哺偶函数,则∫午扣是奇函数●由如)⋯广扼,则g(一工)⋯∫ 扼⋯J二扼,令仁一删g(一切⋯一广e响杆是g(一工)⋯一如),g⑦是奇函数●注如)⋯广专也可以看作由市)⋯∫车响布)⋯如复合而成,显然加)⋯s山是奇函数,于是g(工)的奇偶性与y(″)一致,是奇函数.另外,若″(工)是偶函数,则g(工)直接就是偶函与y(批)的奇偶性无关).2.答应选A.肿班+Q地非●(一孰删正Q●(一轨地刊(P●÷+Q●号)地'刊(÷p+号Q)删y解⋯)叫+号中⋯+君⋯掣⋯+君# 淡砖依题意,和0⋯1n2,α斤÷百一,乃⋯1,2,⋯,进而彻⋯罪⋯一磊百,”⋯1,2,∑批⋯∑讹⋯一∑扩 青÷手⋯一÷羞击⋯一÷●乃=O/!==1/!=11面田∴.■■■±=一:=1一⊥6.4解由∫′(O)⋯卿则虫灼)≡∫(0)⋯卿即蚌灼)一∫(0)]⋯0,又虫灼)⋯O,于是∫(0)此时1imflz2-1im∫(工)一∫(O)⋯77L工-→0二Z:一.__→O工5.答应选B.解由题意可知,计,郁,鸦相交于一条直线,且不重合,于是方程组解,且吼,α2,α3两两不相关,故r仇工+61y+cl之==dl,α2工+62〕'+c2之==d2,有无穷多刨工+63)/+c3之==d3<3,且r(α"仇)⋯2(壬≠j),故仍⋯″⋯2.●9●6.答应选D.解(仇,α2,仍)⋯园■■Ⅲ田11α一16-1Ⅱ园■■Ⅲ11α01一α1-α206+1α一10α一11一α11α01一α1一α206+lα一1002一α2一α因为仇,α2,α3线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则r(α.,α”α3)<2,且r(吼,α,)⋯j),于是r(α1,α2,仍)⋯2.①当α⋯1时,仇与α3线性相关,不满足题意;②当α≠1时,(仇,α2,仍)一→11α011+α06+1α一100α+2要满足题意,则α+2⋯0且一6(α+1)一2⋯0,故〈11α011+α00-6(α+1)一200α+2α⋯一2,6==2.7.答应选A.解由r(A)⋯2,则Ax⋯0只有一个线性无关的解,故特征值O只有一个线性无关特征向量.由Aα⋯0⋯0●α,α≠0,知α为入1⋯0的特征向量.对3维非零列向量,且满足伊α⋯0(即α与β正交)的线性无关向量β应当有两个(比如3维坐标系的三个坐标轴),设为体,β2,由4士=位⋯1●位,仁=1,2,则位,β2为特征值入2⋯入3⋯1的线性无关特征进而在的全部特征值也是0,1,1.所以tr(∠年)⋯O+1+1⋯2.8.答应选B.解E(2x+y)⋯2Ex+Ey⋯一2,D(2x+y)⋯4Dx+Dy⋯4×2+2⋯1N(一2,10).同理,x-y-N(2,4).此时P〈2x+y<α〉⋯P2x+y+2/而￣/而←若卢(若),且P〈x>y〉⋯Px-y-2→军〉⋯1一@(一1)事(1),由岩⋯1轴⋯佃一2●解由题意可知⋯日若<山厅÷干若<1,于是∫(工三y)⋯∫(工)●有Ix(yl工)⋯〈2,0<工<y<1,O,其他.耽⋯∫扛1一词工⋯2×(÷一÷)⋯÷,肘⋯忙∫三2地⋯性一2)五⋯÷,●10●E(粉⋯怔∫扣吨⋯∫扣一工2池⋯÷,于是Cov(x,y)⋯E(常)一耽●肘⋯÷一音击10.答应选D.解x与y的联合概率密度为∫(工三y)⋯有(工)●有(y)⋯〈入2e￣^(工十y),工>0,y>0,0,其他.设Z的分布函数为F,(之),则Fz(之)⋯P〈Z<乙〉⋯P〈lx-Yl<切.①当之<0时,Fz(之)⋯0;②当z>0时,Fz(之)⋯P〈一z<x-y<之〉⋯2P〈0<x-y<之〉⋯2性叫y审删工当∫:∞入叫呻一e一入叫吐⋯2广入e一词一2产∫:∞灯词⋯1-e￣拓.所以Z-E(入),从而Z与x服从相同的分布.二、填空题11.答应填6.解1im工一→O(1+czz2)SmZ-1..esinch(1ha2)一l==1im工-→0sinaln(1+cLr2)⋯虫苦⋯6,所以α⋯6.12.答应填5.解由d∫⋯3d“+4du,则f:(1,1)-3,∫(1,1)-4,由y⋯∫(cosz,1+畦⋯有(一Si⋯)+有2击堕-[#.(一sinz)+#.2抓一Sinz)+有(-COSZ)+EA.(一sinz)+扛2因此莹」:。⋯击(1,1)●(一1)+击(1,1)●2⋯一3+8⋯5.13.答应填一÷●解这是余弦级数,则仇⋯主Jt2:=二==二二一二￣″乃性+1)cosnd⋯告∫扣snd-i∫≠sin7ui(如士一性n加)●11●21==一●一cos?耽″乃∴∴″嘉[(一1广1]●于是α2山⋯(2″一1)2乃[(一1产￣1-1]⋯lim7?2sincz2,rl-1im722.sin/广_→∞′「→cc)(2??一1)2乃’一4此时⋯1im″2(2″一1)2重=笺一41(彻一1)2乃乃14.答应填arc咖(亡+y)=叫+号●解令扩=r+”则严⋯渺′⋯盖一l●代人原方程,础一1⋯去.于是盖一去+1⋯1若,分离变量,得击d“-dr’两边积分,得∫丁车d“⋯中于是“一arCtan“-irC.回z+y-arctan(z+y)-Z+C,即将Jr=」士y-0代人,得C⋯一号,于是所求特解为arctan(亡+y)==y+号.15.答应填[0,+∞).解由题意,A是实对称矩阵,则存在正交矩阵g,使gT42⋯隅⋯A,...
