2001年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】yf—2j/+23/=0.【解】由通解形式得二阶常系数齐次线性微分方程的特征值为AU2=l+i,特征方程为（入一1—i）（A—l+i）=C）9即入？一2入+2=0.故微分方程为yf—2yf+2歹=0.2（2）【答案】三・【解】zrdiv(grad厂)22无yr-------r-----------2Z~~722rrIfG，丿)dy・1—X「1—y12/(□:,y}Ax*0'20*-1如图所示，将。={（工，夕）|1一夕£工£2,—1三了€示成X型区域为D={（_z,y）|lW_z£2,l—攵£夕冬0},'1—yf（j-,y）dx改变积分次序为【解】i—》故f(jc9))dz9f(9y)dr2'2djr于(工,y)dy.1-X(4)【答案】y(A+2E).【解】由A2+A-4E=O,得(A—E)(A+2E)=2E.----------------H------------------—2*12rr于是div(gradr)|(i,-2,2)（3）【答案】于是(A-E)-y(A+2E)=E，由逆矩阵的定义得(A-E)_1=y(A+2E).（5）【答案】y.【解】由切比雪夫不等式得P{|X-E（X）|＞2}二、选择题（6）【答案】（D）.【解】当工＜0时，由/■&）单调增加，得f\x）$0,则（A）,（C）不对；在z=0的右邻域内，由/（乂）单调增加，得于'（工）＞O,!iIlJ（B）不对，应选（D）.（7）【答案】（C）.【解】因为函数可偏导不一定可微，所以（A）不对;曲线在（0,0,/（0,0））处的切向量为011-Z109009(0,0)Z—f*'八在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3},应选(C).)=0(8)【答案】(B).【解】因为当力~0时,1-cosA-*0+,IU../(I—cosh)/(I—cosh)—/(0)1—cosh于是曲线cosh21—昇（0）,h2Jy1h->0即忸書也存在只能使右导数存在，故（A）不对;-/(A—sinh)/(A—sinh)—/(0)lim----------e--------=lim------------------:~:---------A—oha->oh——sinhh一sinhh2e、「•h一sinh小匕Li\r「f（h—sinh）"亠才宀/士f（A—sinh）—/（0）士因为lim--------——=0,所以lim--------；-----存在不_定使lim---------------—r-2——存a->ohA-ohh—sinh在，即）在=0处不一定可导，（c）不对；取/'（■r）=F'X显然厶八"）=1,因为lim/Xj?）=0H_/（0）,所以/'（工）,12,x=0,Ih…在工=0处不连续，故在z=0处不可导,（D）不对，应选（E）.方法点评：导数定义为lim竽=厂（攵（）），等价定义为lim""'----了口"=f'（工Q,心~0△乂X—X0考查导数定义时一定要准确理解导数定义的本质，注意如下三个方面：（1）导数定义中\工f0要同时保证Axf0'和f0一；口/（jc0ah）—/（J7O+6A）（2）定义中函数增量后一项必须为/（乂。），即lim----------厂2—2------S工0）存hfoh在不能保证十（工。）存在；（3）分子分母自变量改变量的阶相同，即lim+"）二心也中a,0是同阶无穷小.a—0ap->0（9）【答案】（A）.【解】令丨入E—A|=0,得A的特征值为AJ=4,A2=A3=A4=0.显然B与A特征值相同，且A.B都是实对称矩阵，故A.B相似且合同，应选（A）.方法点评：设A,於是两个实对称矩阵，则A与B相似的充分必要条件是丨XE—A|=|XE—B|,即两个矩阵的特征值相同；设是两个实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是A,B正、负特征值的个数相同.（10）【答案】（A）.【解】方法一由X+Y=”，得丫=—X+兀，于是D(X)=D(y),Cov(X,Y)=Cov(X,—X+“)=—D(X).Cov(X,Y)7d(x)•7dTy)D(X)—D(X)=—1，应选（A）.方法二因为P{Y=-X+«}=1且一1VO,所以PxY=-l,应选（A）.方法点评：设X,丫为两个随机变量，若pXY=l,称随机变量X,Y正相关，其充分必要条件为P{Y=aX4-6}=l（a>0）；设X,Y为两个随机变量，若pXY=一1,称随机变量X,Y负相关，其充分必要条件为P{Y—aX+b}=l（aV0）.三、解答题（11）［解】方法一令er=t,则farctaneJe2jarctant、—drarctantd(t~2)1—arctan2八1—arctan2d1—arctan2〃arctant+2丨?z八2J?(l+z2)dtarctaneT-------------arctanex+C.2e『2方法二farctanerdjre2,re2jarctane"+12e2x------arctane'd(e~2j).•prd7*2Ji+宀2d(e’)arctaneJ[dCe")arctaneJ丄(71*1)2e2x2“10(1+0)2e2x+2J\e2x1+e2x/i°°(13)[解】由(arctan工)‘=------=工(一1)"工"1+力n=0故g12?112arctan11r------；--------------------arctane+C.2尹2eJ2(12)【解】具而卩'(工)=于((工JQ9工))+/!(工JQ口))•[_f\(工9无)+(j?9无)]9卩(1)=/(1,/*(1,1))=/(1,1)=1,3f_3xb（_z）=3爭2（工）爭'（工），(...