2015年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】设f'O=0左边的零点为H=a,右边的零点为x=b,又在x=0处/"（z）不存在.因为工=a的左、右两侧于〃（工）都大于零，所以（a,/（«））不是拐点；因为工=0左、右两侧f'\x）异号，所以（0,/（0））为拐点；因为工=b左、右两侧）异号，所以（6,/（6））为拐点，故有两个拐点，应选（C）.方法点评:本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及二阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲线上对应的点为拐点.（2）【答案】（A）.【解】因为;y=+孑+（広）e"为y'+ay'+by=ce"的特解，所以y"+ay'+=0的特征方程的特征值为入1=12=2,则a—~3,b=2.显然y为原方程的特解，将代入原方程得c=—1,应选（A）.（3）【答案】（E）.【解】因为£a”条件收敛，所以的收敛半径为1,n=1n=\oo》a”（工一l）n的收敛区间为一1V1,即0＜工＜2.77=1因为Vy—1G（—1」）93—1幺］—l」］9所以级数工a〃（乂一1）"在工=^3处绝对收敛，在x=3处发散，n=l因为〉（工一1）"与工5（攵一1）"收敛半径相同、收敛区间相同97?=1"=1OO所以一1）"在攵=^3处绝对收敛，在乂=3处发散，应选（E）.n=\（4）【答案】（E）.■亠.A=rcos°，（兀”c—兀1—/1\„,【解】令｛■一W厂W/［,则\y—rsin0,I43丿2sin20Jsin20丿JJ/（jr,j/）clrd_y=d0j*""："/（rcos0,rsin（9）rdr,应选（B）.D45/2sin20（5）【答案】（D）.【解】因为AX=b有无数个解，所以r（A）=r（A）＜3,由|A|=（q—l）（a—2）=0得a=1山=2,11:110：d-100:d2—3d十2当a=1时，Z111111\IA=121010八1一I41川30—J'因为方程组有无数个解，所以d-1或〃==2；当a=2时9I111卩111\IA=122小11—1一444d2'33因为方程组有无数个解，所以〃=1或〃=2,应选（D）.1101d—1d2一3d+2110方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.本题非齐次线准方程组有无数个解的两个关键点、为：厂（A）<3及r（A）=r（A）.（6）【答案】（A）.【解】因为/'（I,工2，工3）经过正交变换X=PY化为标准形2y\+yl-y\,所以A的特征值为Aj=2,入2=1，入3=—1，其对应的特征向量为ei,e2山3,因为S,-e3,e2为特征值2,—1,1对应的特征向量，所以X=QY下二次型的标准形为2yl~yl+yf，应选（A）.方法点评：本题考查实对称矩阵对角化及二次型理论.二次型标准化有配方法和正交变换法，配方法化二次型为标准形时，其系数不一定为矩阵的特征值；正交变换法化二次型为标准形时，其系数一定为特征值，注意特征向量与特征值的次序要保持一致.(7)【答案】(C).【解】P(A-bB)=P(A)+P(B)-P(AB),因为P(A+E)>P(AB),所以P(A)+P(B)-P(AB)>P(AB),.>D/AQ、xP(A)+P(B)宀住/八、故P(AB)<---------------------，应选(C).(8)【答案】(D).【解】由X,Y不相关得Cov(X,Y)=0,从而E(XY)=E(X)E(Y).E[X(X+Y—2)]=£*)+E(XY)—2E(X)=D(X)+[E(X)T+E(X)E(Y)—2E(X)=3+4+2—4=5,应选(D).二、填空题（9）【答案】I【解】方法一ln(cosx)..ln[l+(cosz—1)]..cosx一11lim-------2-----=lim------------------------------=lim--------°-----=------工->0x工-*0x工-*0xLsinx方法二1.ln(cosx)—cosx1..sinxlim-------:-----=lim—--------=-----lim----------x~»0XX—o2x2x—0X丄1cosXK2(io)【答案】T【解】sinx-y1+COSX>一兀|jr|djc=2•A227tJCdj：=—o4方法点评：本题考查定积分的奇偶性质，即/(J7)djf=—a[/(J7)+—工)]dz，特别地,0当/(—)=f(JC)时，/(jr)d:r=2f{x)djrJo当f(一x)=—fO时,/(J7)dj：=0.—a(11)［答案】一山.【解】方法一将工=0,夕=1代入e=++z十ez+xyz+j;+cos工=2两边分别对x,y求偏导得dz_3x•訂+夕z+工cosX=2中，得z=0,•z°Z+1一sinjr=0,ez•-----\~x3yN+夕3z\八3z=—1•—代入得器dx=Idj?+字|djy=-dz.I(0,1)djcI(0,1)dy|(0,1)方法二将j：=0=1代入e”+xyz+工+cosjc=2中得n=0・ez+xyz+无+cos=2两边求全微分得ezdz+yzdx+xzAy+xydz+dr—sinxAx=0,0代入得dz|(0.1)=—dx.故dz(0,1)(0,1)=0,(0,1)将z=oq(12)【答案】44【解】方法一由对称性得]J(_z+2y+3z)dQ=6『QQ=6「drJ0=[(1—jr)3dj?Jo4方法二0={(无9夕9之)|(乂，夕)GD,0WnW1—...
