2020年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】（D）.【解】当工一0+时,工2(e一1)ckoln(1+)ck〜ot2dt=-yJ?3；0ox19At2dt=—X2;o5t2dt=-yJC3；ooV25sinjcsino'1—COSX_________vsin3tAto应选（D）.方法点评：确定变积分限型无穷小的阶数时，通常有如下方法:（1）洛必达法则，如：【例1】设/'(z)连续，且/(0)=(b厂(0)=4,且tfCx—t)dt—kxn(j?0),求怡皿・J0【解】xX—t=utf^jc—r)dr......=0*0(x—u)f(u)(—du)=x/(u)du—0uf(u)du90tf(x—t)dt0____________________x11得/?—2=1，即77=3，由lim•r-*0xlim-•Zf0/(u)dw—0uf(u)du--------------=limx-*0/(u)dwo_____________n—1nxlon(n—])工”2由limx-*0tf(<x—t)ck0=£lim2)—=1/(0)=4•得6L0X\)op22tf（x—t）dt〜—a*3，故b=3.J033（2）等价无穷小，即积分限及表达式用其等价无穷小代替，如：e"—1f----------dz〜axh（jcf0）9求a』・t【例2]【解】sinr-------At&21tAt=—x4得o2X3X设a=由a=0.220ta=打=4.（2）【答案】（C）.方法一若/'（工）在jc=0处可导，则/（工）在工=0处连续，由lim/Q）=0得/（0）=0,x-*0因为lim"）_心卩=lim竺2存在，所以八工）为工的同阶或高阶无穷小，故工一0X一0LoX方法二f（了）取）=|x|，显然lim——^z=0,但fCjc）在工=0处不可导,（A）不对;工-*0/II2,x2,x但）在z=0处不连续，从而/（jr）在z=0处不可导，（E）不对;取心）=工=09£（了）显然_/（工）在（-1,1）内有定义且limy（H）=0,显然lim^yH09L°L0工0,,.f（r）取f（x）=2j?然/（工）在工=0处可导，但lim-—不存在，（D）不对，应选（C）.■Z-*0X（3）【答案】（A）.【解】因为/（x,y）在（0,0）处可微，所以=/（jr,y）—/（0,0）=f（工,y）=占工++o（丿工？+夕2）,oxoy于是+zf~y—f（工=o（J工“+夕'），即"•（a:,y,/（x?j^））—o（J+j>2）,oxdy故Hm虽_込存在，应选（A）.SIOQJ芒+寸（4）【答案】（A）.【解】因为幕级数工a”_z"的收敛半径为R,所以当\x\<R时，级数绝对收敛，进而，级n=1数工S”严收敛，所以，当»2”产发散时，I厂INK,应选（A）.71=1”=1（5）【答案】（B）.【解】矩阵A经过初等列变换得到故存在初等矩阵P,（£=l,2-,O使AP^Pr-P,=B,因P,均可逆，故有A=BjP7PT，记P=Pj・PjP『，故应选（E）.方法点评:矩阵进行一次初等行变换或一次初等列变换等价于矩阵的左边乘以一个初等矩阵或右边乘以一个初等矩阵；矩阵进行若干次初等行变换等价于矩阵左乘可逆矩阵，矩阵进行若干次初等列变换等价于矩阵右乘可逆矩阵，故有如下结论：（1）设A,B为同型矩阵，则A经过有限次初等行变换化为B等价于存在可逆矩阵M,使得B=MA；（2）设为同型矩阵，则A经过有限次初等列变换化为B等价于存在可逆矩阵N,使得B=AN；（3）设为同型矩阵，则A经过有限次初等变换化为B等价于存在可逆矩阵P,0,使得B=PAQ.（6）【答案】（C）.[jc=a2+axt,严\【解】令Li:--------='a%=--=/得-\y=b2bxt,即L}：\y\2+tax,5ci\[z=C2cxtJ'z同sil2：=a3+za29z因为L1与相交，故存在t'使得a2+tax=a3+/a?,即a-=ta}+(1—z)a2,故S可由a】.a2线性表示，应选(C).(7)【答案】(D).【解】P(ABC)=P(A-B+C)=^P(A)-P(AB+AC)=P(A)-P(AB)—P(AC)+P(A£C)=丄一岂412PCABC)=P(B-A+C)=P(B)-P(AB+BC)=P(B)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)=丄-4P(ABC)=P(C・A+")=P(C)-PCAC+BC)=P(C)-P(AC)-P(BC)+PCABC)=^--4---------——---------ill故所求概率为P(ABC)+P(AEC)+P(AEC)=-+-+而66lz112212512丄112，应选(D).⑻【答案】(B).【解】E(X)=*,E(Xb=*，则D(X)=E(X2)-[E(X)FIO?由中心极限定理得Yx,近似服从N(50,25),1=1丄7100工x,—50从而丁15近似服从N(O,1),故p[丈X,£55卜P100IX—50---------------£1I~0(1),应选(E).5二、填空题(9)【答案】【解】-1.1limj--*01____—1ln(1+工)=lim•zf0ln(l+jr)-eJ+1e，ii=7h^T+71—(工+l)e「11一(工+1)于=—lim---------------------X--------------2X—0X]..1十z=I'm------亍0LX—----lim(:r+2)eJ=—1.2o(10)【答案】—麗.1【解】djy_丿/2+]_1Vi2+1dj_djr2due/山y?+1?3，故斛（11）【答案】【解】因为入i故n+am.由/'〃(工)十a.厂(工)十/(工)=0得特征方程为入2+(lX+1=09+A2=—aVO""?=1〉。...
