2002年数学(一)真题解析—、填空题(1)【答案】1.r+°°djr厂d(lnx)1JeXIn2JCeIn2J?Inx2=(a+4)(a—2)2=0,得＜2=—4或a=2.(2)【答案】一2.【解】当工=0时,y=0.ev++x2—\=0两边对z求导，得e3"+6y+6工学十2工=0,则“(0)=0.drdjrey+6y+6_z+2h=0两边对工求导，djrdz得e'(H7)2+兰£j+12^+6x|^+2=0,于是『(0)=—2.(3)【答案】$=行工+1.【解】方法一令:/=p,则『=/字，方程_yj/'+y，2=0化为yp~r~+p7'=^.o-y~ay因为pH0,所以学+丄/=0,解得p=C〕e''y=—.ayyyiiiir由夕(0)=l,j/(0)=g,得Cl=》，于是yyf=》，解得+C.由y(0)=l,得0=*,故;y=丿工+1.方法二由yy"+=0,得(》》')'=0,解得yyf=CX.由y(0)=l,j/(0)=，，得Ci=*，艮卩阳'=+或(j/)'=l,解得y2=x+C2.由》(o)=1,得c2=i,故满足初始条件的特解为夕=ym.方法点评：本题考查可降阶的微分方程的求解.特定类型微分方程的求解可以用相应类型微分方程的解法求解，注意运用灵活简洁的方法，往往可使解题简单且正确率高.(4)【答案】2.【解】方法一22\a2，因为二次型经过正交变换得标准形为f=6yl，2a'所以矩阵A的特征值为入1=6,入2=入3=0,由trA=A,+A2+A3得a=2.方法二因为二次型f经过正交变换化为f=63/］，所以入1=6,入2=入3=0,于是|A|=0.a2由IAI=2a22a2/-422\当a=~4时,A十-42-'22—J入+4—2-2由丨花-A|=-2入+4-2=A(A+6屮=。9得入]=0,入2—A3=一6,矛盾,-2-2入+4故<2=2.(5)【答案】4.【解】由X〜N(〃d),得p{x£〃}=P{X>〃}=*.当厶=16—4X<0,即X>4时，方程3^+4,+X=0无实根.由方程3^+4，+X=0无实根的概率为+，得P{X>4}=*,于是〃=4.方法点评：若X〜NO，/),常用知识点有：(1)P{XW〃}=P{X>〃}=*；X—fJL(2)------氏〜N(O,1)；o(3)P{a<X^b}(牛旳—①(分勺；(4)^(—a)=1—①(a).二、选择题(6)【答案】(A).【解】若fCx,y)两个偏导数连续，则2,y)一定可微，反之不对；若可微，则/'(工，夕)连续且可偏导，反之不对，应选(A).方法点评：二元函数/(jt,y)在一点处的连续性、可偏导性、可微性、一阶连续可偏导性之间的关系图如下：一阶连续可偏导(7)【答案】(C).【解】由lim—=1,得lira丄=0,w-*°°U„n-*°°Un丄+况1丄+(―1)宀—U1Un+1因为limS„=—"f8It]收敛,(A),(D)不对;丄+丄UnU卄1S”由lim—1177+18h8［发散，所以工一与丫---都发散,”=1Unn=l"”+1因为工右与乞丄n=\Hn=lri\丄条件收敛，应选（C）.U（8）【答案】（B）.【解】若lim）工0,不妨设limff（x）=A>0.J-->4-00工一*+°°AAA取=y>0,则存在X>0,当工>X时，|广（乂）一AIV㊁，于是/•'&）>y.当a>X时，/(^)-/(X)=y'(W)Q—X),其中gG(X,H),A则于(工)>f(X)+-Cx—X),因为limA于(X)+㊁Cz—X)=+°°,所以limf（x）=+°°,与/（j?）有界矛盾，应选（E）.（9）【答案】（B）.【解】/a11因为A=如1^31a12Q13\Q22Q23Q32a33因为r（A）=r（A）=2<3,所以方程组AX=b有无数个解，即三个平面有无数个交点，因为（A）只有一个交点，而（C）,（D）没有交点，所以应选（B）.（10）［答案】（D）.f+ooC+8f4-00【解】方法一因为|［九（z）十九（z）］dz=|（je）d;r+|f2（x）dj?=2#1,J—ooJ—ooJ—oo所以几（工）+亢（工）一定不是某个随机变量的密度函数，（A）不对;设X1〜E(1),X2〜E(l),则0,•zW0,•z〉0,0,e_2x•zW0,•z>0,因为*-|-oo/i(jr)/2(力='-|-ooe_2jdxo=*H1,所以/iCx）f2）不是某个随机变量的密度函数，（E）不对；因为F］（+8）+尸2（+*）=2工1,所以F|Q）+F2（h）不是某个随机变量的分布函数，（C）不对，应选（D）.方法二因为F］（_z）,F2（h）为两个随机变量的分布函数，所以0WF］Q）冬1,0<F2（^）<1,Fi（_z）,F2（h）单调不减，从（工），尸2（工）右连续且F1（—00）=F?（—°°）=0,F］（+°°）—F+°°）=1,于是F］（工）尸2（工）满足：0<F1Q）F2（工）<1,Fi（_z）F2（h）单调不减,F1（JT）F2（JC）右连续且F1（-^）F2（-oo）=0,F1（+*）F2（+*）=1,故Fi（h）F2（h）为某个随机变量的分布函数，应选（D）.三、解答题(11)[解】将力=0代入af{h)+”(2/i)—f(0)=o(/z)中，得(a+b—l)f(0)=0.由/(0)工0,得a+b=l；由(A)+6/(2A)-f(0)=o(h),得+bf\2h)_f®=恤=a-*ohA->0ha/(A)+6/C2A)-/(0)a/(A)+6/(2A)-(a+6)/(0)[nJlim-------------...
