2006年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】2.X-*O1—COSJCx-*01—cosX（2）【答案】y=Czep（C为任意常数）.【解】方法一由“"U,得『一（丄—1X\工y=0,通解为y—Ce=Cxe~x（C为任意常数）.方法二$=夕（1_工）化为上=丄一1,即（山夕）&#039;=--1,从而lny=ln^+lne^+lnC,xyxx故原方程的通解为y=Cxe-（C为任意常数）.⑶【答案】2兀・【解】补充工o：n=1（无2+y2W1）取上侧9贝I」•zd』dz+2ydzdx+3(n—1)drdj/工djydz+2j/c!ndr+3(z—1)cLzdy—xdydz+2ydzdr+3(n—1)djcdy9由高斯公式得工dydz+2ydzdx+3(n—1)djrdj/=6djcdy=6kz2dz=2k,工+工0Q而攵dydz+2ydzdx+3(n—Ddxdy=09所以工dydz+2yAz^jc+3(n—1)djrdj/=2k.（4）【答案】V2.I3乂？_）_4乂］I【解】点（2,1,0）到平面3工+4y+5z=0的距离为〃=I•-…-二------=麗.732+42+52方法点评：本题考查点到平面的距离.空间解析几何部分需要掌握如下几个距离公式：（1）两点之间的距离：设A（工11，G）,E（工2，夕2，?2），则两点之间的距离公式为d—丿（工2—厂）2+（丁2—A］）?+（Z2—Gt；（2）点到平面的距离：设平面？r：Az+Ey+Cz+D=0,点M。©。，，。，乂。）$D,则Mo到7T的距离为IAho+By0+Cz0+D|7A2+B2+C2（3）点到直线的距离：设L：---------=一=—一」，（工i，“，g）&L,mnp令Mo（乂09夕（），之0），£=｛加皿"｝，则点Mi到直线L的距离为\Mom\Xs|d=—M■(5)【答案】2.【解】由BA=B+2E,得B(A—E)=2E,两边取行列式，得|B|•\A-E|=4,因为A—E=()，所以|A—E|=2,于是|B|=2.\—11/（6）【答案】p【解】由X〜17（0,3）,V〜U（0,3）得X,丫的边缘密度函数为,、—,0<<3,—fx(z)=]3/y())3[o,其他.[o,由X,Y独立得P{max(X,Y)<1}=P{X<1,Y<1}0<3;<3,其他.=p{x<i}p{y<i}=P寺山•「+旳=寺.JodJooy二、选择题（7）【答案】（A）.【解】方法一dy=/z（x）Ar,△》=/（jr+Aj?）—/（j;）=f&#039;（工VWVz+zkr）,因为f"O>0,所以f&#039;C）单调增加，于是0<f&#039;S</（f）.再由△•z>0,得0Vff（jc）△#V/z（^）Aj?，即0<dy<，应选（A）.方法二由泰勒公式得于（攵）=于（工0）十/"（工0）（工一工0）+U（H—xoy,其中$介于工0与工之间，因为f&#039;Q）>0,所以/O）—/（J?o）$/&#039;（工。）©—工0），等号成立当且仅当X—x0,故三dj/.因为f&#039;GJ>0,X=工一2（）>0,所以dy=/&#039;（工0）（工一2（））>0,于是△，〉djy>0,应选（A）.方法三=f(JCO+Aj?)—f(xo&#039;)=f&#039;铤)、工QoVg<Zo+Aj；),则—dy=[_/&#039;(£)—ff=y〃（q）（W—工（））血（6V乃VW）,由/"（z）>0得一dy>0,即△夕〉dy,又dy>0,故>dy>0,应选（A）.方法四因为f&#039;（jc）>0,/""（2）>0,所以y—f（.jc）为单调增加的凹函数，如图所示，因为Az>0,所以dj/=\BC|>0,3=\BD\>\BC\，应选（A）.~(7)题图（8）【答案】（C）.【解】将°=”转化为Y型区域为W%/1—y190WyW则°d0f(rcosd9厂sin^)rdr=JoJ0嘤神心于（"血，应选（C）.0Jy（9）【答案】（D）.【解】方法一令s”=ax+a2H------5,因为收敛9所以lirna„=0且limS”存在，”=1LOOLOO令limS”=S・”一＞ooq（1）Qia2|a2-1-a3|n~a”+iqai〔a”+i=—g22=n_~2十〒，8I因为limS^=S—身存在，所以2a＞，；"+1收敛，应选（D）.方法二/_1y°°00°°1°°°°1取an=--------，级数收敛，但工la”丨=另一及》（一l）"a”=工一发散,（A）,（E）Xn=1n=1”=1"n=ln=1不对；取a”=（f”•，级数工a”收敛，Ya”a”+i=—Y———，Jn”=i«=in=\vn（n+1）GOOQCO因为---〜一且级数工一发散，所以一Y----发散，即Ya„a„+i发散，VnCn+1）n”=in”=1丿"（“+1）”=i（C）不对，应选（D）.OOOO-8r方法三由级数收敛得丫与Yyan+1收敛，由级数收敛的基本性质得”=1”=1力”=1力£"”：S收敛.71=1/方法点评：常数项级数敛散性判断通常考虑如下几个方面：（1）是否满足级数收敛的必要条件，若不满足必要条件，则级数一定发散；（2）是否可以由级数收敛的定义判断，即limS”是否存在.OO确定具体的级数类型，如正项级数或交错级数，再根据该类级数敛散判别法.（10）【答案】（D）.【解】方法一因为卩：（攵，夕）工0且卩（鼻0,夕0）=0&#039;所以卩（工，夕）=0确定夕为攵的函数，设为y=夕（工），代入z=f〈工,_y）中，得z=/［工，夕（工）...