2007年数学(一)真题解析—、选择题(1)【答案】(E).1-UT,_【解】In-----------=ln(l+z)—ln(1—,1-a/T1T由ln(1+无)〜x9ln(1—)〜一9得In-----------〜，应选(B).1—J~x(2)【答案】(D).【解】由lim/(jr)=°°,得工=0为y=丄+ln(1+eJ)的铅直渐近线；z—OX由limf(x)=0,limf〈工)=+°°,得y=0为y=丄+ln(l+)的水平渐近线；才—8x-*4-°ojrf(1-4-1由lim-------=19lim[/(jr)—jc]=limIn----------=。9得)=无为y=------Hln(1+e")jc丁->+8x-*h-oooc的斜渐近线，于是曲线y=-+ln(l+e^)有3条渐近线，应选(D).方法点评：曲线的渐近线共有三种类型：水平渐近线：若limf(x)=A,则y=A为y—f(x)的水平渐近线；铅直渐近线：若lim/(j:)—00,则x—a为y—f(j：)的铅直渐近线(f(x)的间断，占、处才可工fa能产生铅直渐近线)；f(工)斜渐近线：设lim-------—a(工0，lim[/(工)—axJ=b,则y=ax+b为曲线jy=f{x)X-*OOXH-*8的斜渐近线.(3)【答案】(C).【解】方法一因为/&#039;(工)是奇函数，所以FQ)=「f(t)山为偶函数，J0于是F(-3)=F(3),F(—2)=F(2),根据定积分的几何意义，得F(2)=*•兀•=守,F(3)=今一*•兀•(*)=等,F(—3)=#F(2),应选(C).方法二根据定积分的几何意义，得F(-3)=-3fO=—=—oJ-3F(—2)=[f(t)dt=_f_J0J—22L)=2L2/2F(2)=f/(r)d/=召，F(3)=[于(/)曲=•一£,应选(C).JoZJ0Zoo方法点评：本题考查定积分的几何意义.当曲线位于7轴上方时，定积分的值与曲边梯形面积的值相等；当曲线位于.Z轴下方时，定积分的值与曲边梯形面积的值互为相反数.（4）【答案】（D）.f（jr）丄【解】方法一由lim------存在，得lim/（jr）=0,「0X0由/Xz）在工=0处连续，得lim/（j?）=/（0）=0；由hm/（工）+/（—•）存在，得=0,•Tf0JCT-^-0由/&#039;（工）在工=0处连续，得Iim[/（J7）+/（—）]=2/（0）=0,于是/（0）=0；工-*0由lim了匕丄存在，得lim/（j7）=0,因为/&#039;Cz）在工=0处连续，所以）=/（0）=0,x-*0XHfOx-*0再由lim=lim心）—W存在，得十（0）存在，应选（D）.•r-*oX攵-*0X方法二取/（j?）=“工°&#039;显然lim）-------——=0,但/（j:）在工=0处不【2,工=0,lox可导，应选（D）.方法点评：本题考查连续与可导的概念.导数定义为_/（◎）=lim"。+节）二/一呂2，其等价定义为zlz-*O△乂/(J：)—/(^0)X—X0但导数定义要注意以下几点：（1）趋于零的自变量必须保证从原点两侧趋于零.Zki-*o~/（J；o+Ajt）—“/、v/（J：o+Aj?）—,lim-------------------------------=丁+（乂0）,lim--------------------------------=_/_（工°）,心Ax心-o-f&#039;Z存在的充要条件是与fS都存在且相等.（2）函数增量/（J?o+△久）一于（工0）中，后一项必须为/&#039;（■To）,如：设f&#039;GQ存在，则limAs十必）：于&0+弘）=（a_方”气工0）；反之，若h-*-0hiim/（.0+aA）-/U0+m存在，则厂（…）不一定存在.—0-h(5)【答案】(D).【解】方法一取)=—Inx,f"G)=1>0,"1=/(l)=0>“2=/(2)=—In2,JC但｛“”｝发散，(A)不对;取/(J?)=A，_/"(z)=2>0,“i=1〉u2=+，但｛“”｝收敛，(E)不对；jcx4取/(jr)=a-3,/，，(j?)=6^>0,“i=1<“2=8,但｛"”｝发散，(C)不对，应选(D).方法二由拉格朗日中值定理，存在&e（1,2）,乞e（2,3）,-,e„-!es—1,“），使得“2—“I=y（2）—/（1）=/,（^1）,“3—UZ=/（3）—y（2）=fW，Un—“”-1=/（n）—f（n—1）=y&#039;（g”_i）,相加得“”="1+_/&#039;&#039;（&）+/&#039;&#039;（$2）----卜/"&#039;（£”一1），因为f"O>0,所以f\x）单调增加,从而V…Vf），于是$“1+G—D/’G）="1+"（"2—“1），当“1V“2时，lim“”=+°°,应选（D）.“f8方法三由f"⑺>0得十（工）在（0,+oo）内单调增加.情形一：存在ce（0,+00）,使得f（c）=o,当工>c时,十（工）>/（c）.取攵1>C，当工>X!时=—工1）,其中WE（工1，工）.由f（jc）N+/"&#039;（工i）（工一工1），两边取极限得lim/（J7）=+°°,从而lim/（n）=+°°;J-»I00”一►00情形二：对一切的工6（0,+O0）,有/•&#039;&）>0,由fS^/（1）+/Z（1）（J7-1）,两边取极限得lim/（jr）=+00,从而limfCn）=+°°;J---»I00”一►00情形三：对一切的工e（0,+兀），有十（工）<0,取工>1,由拉格朗日中值定理，存在E6（1,工），使得/&）=于（1）+/•&#039;（£）...