2010年数学（一）真题解析一、选择题(1)【答案】(C)・(■r—a)(工+6)z[(a—b)j~+a6](a—6)x+a6\(x—a)(x+6)【解】lim工f8limHf8(a—b)工+ab(j?一a)(工+b)X2(re—a)(jc+b)应选（C）.（2）【答案】（E）.【解】方法一复合函数求导法则dzjr---—nF（—»—）=0两边对工求偏导，得一三尺----三F；=O9解得乎=（yF{+zFf2）；\工工）xx°工jcF2F）=0两边对y求偏导，得丄F：+丄F；—09解得护=—』・\xxfxxdydyr2于是工另+y拿=^rCyF\+nF；）—=z,应选（E）.方法二公式法令GQ,y,z)=F(2由G；=—F\-----F；,G&#039;y=—F\‘G；=—F；,得xxuxWf；+xx3z_3jcG：x=丐（歼；+汀；）,F；于是工+y子=+zF；）—=z，应选（E）.方法三全微分法$zF(-\«zX-）=0两边求全微分，得F#（工）+F；d（［）x，F；•迪打2虫+冗•=0,整理得X21F‘从而有dz=尹(厨+zF；)d_z—詁切于是J=-^z(yF：+zF；),字=—?,oxxr2cJyr2故jc#+^―=寺(yF：+zF；)-=z,应选(B).3C/攵dz—zAx宀=0,X2(3)【答案】(D).【解】工=0及工=1为反常积分1如些迈dr的瑕点,0\/ln2(1—jr)丄因为limz厂万_r—o+1yin2(1—jc)1~zz9i774如「)山收敛dx=\/ln2(1—j?)[口12------------------=1且&=-------<1,所以VTnm1m[\~2(]~~2又因为lim(1―x)2•——---------=lim\/1—x•ln/z,(1—x)工—1一&#039;Ujc才—厂10i\71n2(1—jr)dj?十o:匚Int\万1—X2]\--—lim—^―加lo+-T-1/0且a=tVI,所以「/JT:。叮「)山收敛，故1如府工)山收敛，应选(D).°a/z方法点评：对积分区间有限但函数有无穷间断点的反常积分的敛散性判断通常有定义法和判别法.(1)设/(x)GC(a,b],且/&#039;(■z)在=aCh的右邻域内无界.定义法：对任意的E>0,若lim|/(jr)dz存在，则称反常积分Pf(j;)dz收敛，否则称为发散.°+Ja+eJa判别法：设lim(j:—ayfCx)=A(工°°),则当0<k<1,0AV+°°时，反常积分•rfa&#039;bhf(x)dx收敛；当k1,0<AW+*时，反常积分|/(工)山发散.(2)设/(^)6C：a,6),且y(z)在工=b的左邻域内无界.定义法：对任意的e>0,若lim|/(a-)dz存在，则称反常积分「yGJdz收敛，否则称为发散.&#039;b—£Lo+JaJa判别法：设lim(b—jc~)kf{jc)=A(工°°)，则当0<Zk<Z1,0AV+8时，反常积分工fb&#039;bhf\x)dx收敛；当>1,0<A时，反常积分|/Q)cLz发散.(4)【答案】(D).【解】取D={(x,y)|0€工Wl’OWjyWl},1(1+工)(1+0&#039;由乞£厂+：)：+2)七乞,=1；=1(兀十"(72十丿)兀,=17=11+1+有，根据二重积分的定义，得limSS(丰•)：2亠.2)00’=1丿=1(7?十Z)(72+J)应选(D).：市7)；1+0切Da1<n/0方法点评：用定积分、重积分等的定义求极限是极限计算的一种重要类型，重点考查定积分定义求极限.(1)定积分的定义求极限：lim—f(丄)=[fCa:)djr&#039;・111【例】求极限嶼齐万予+齐皐¥+7【解】一772n+dtsmt~27smxcosx托osmx十cosjcdz=smt十costosinx+cosocTodj：，(5)【答案】(A).【解】r(AB)=r(E)=m.因为r(AB)r(A)且r(AB)r(B),所以r(A)m,r(B)m.又显然r(A)<m,r(B)m,故r(A)=/*(B)=加&#039;应选(A).方法点评:本题使用矩阵秩的两个性质：(1)r(AB)<min{r(A),r(B)},研究矩阵秩的时候，如果出现矩阵的积，使用此性质；(2)设A为加Xn矩阵，则r(A)Wmin{?7?,n}.(6)【答案】(D).【解】令AX=AX(XH0),由(A&#039;+A)X=(A2+入)X=0且XH0得入&#039;+入=0,于是A=0或入=一1.因为A可对角化且r(A)=3,所以入=—1为三重特征值，故A〜_1_]，应选(D).&#039;o&#039;(7)【答案】(C).【解】p{X=1}=P{X<1}-P{X<1}=F(l)-F(l-0)=1-e-1-j=应选(C).方法点评：本题需要熟练掌握随机变量分布函数的性质.设X为随机变量，F(_z)具有如下四个特征：(1)0WFQ)<1；(2)FQ)单调不减；(3)F(h)右连续；(4)F(—°°)=0,F(+*)=l.反之，若FQ)具有(1)〜(4)的特征，则FQ)为分布函数.另夕卜，若FQ)为分布函数，则(1)P{XVa}=F(a—0)；(2)P{X=a}=P{XWa}—{X<Za}=F(a)—F(a—0)；(3)P{aVXWb}=P{XWb}-P{X£a}=F(b)—F(a)；(4)P{a<X<b}-P{X<b}-P{X^a}-FCb-Q)-FCa).(8)【答案】(A).土，ng,0,1上【解】九(工)=ze2(—00VzV+°°)9九(工)="727其他.因为/(^)为概率密度函数，所以Efof(a:)dj?=cl\/j(jc)dj?+6J—oo*-|-OO/(jr)dj?=1.f2)dj?=¥+boZ*3而011a丄3汕=》+才,所以务+^-b=1,即2a+3b=4,应选(A).24二、填空题(9)【答案】0.【解】学=蚪=-曲+/2),Axaj?/dt/山...