一、填空题（每小题2分，满分10分.把答案填在题中横线上）(1)设)1ln(axy,其中a为非零常数，则22)1(,1axayaxay.(2)曲线yarctgx在横坐标为1点处的切线方程是4221xy；法线方程是4/)8(2xy.(3)积分中值定理的条件是()[,]fxab在闭区间上连续，结论是[,],()()()baabfxdxfba使得(4)32()1nnnlinen.(5)dxxf)(cxf)(；badxxf)2(＝)2(21)2(21afbf.二、（本题满分6分）求极限011lim()1xxxe解：200000111111lim()limlimlimlim1(1)222xxxxxxxxxxexexexxexexxx.三、（本题满分7分）设)cos1(5)sin(5tyttx，求22,.dydydxdx解：因5sin,55cosdydxttdtdt，5sin)sin5(1cos1cosdyttdxtt（0+），故ttdxdycos1sin，且222sin1()1cos5(1cos)dydtdtdxdttdxt四、（本题满分8分）计算定积分10arcsinxdxx.解：2211121022000111arcsinarcsin224211xxxxdxxxdxdxxx，1987年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答数学（试卷Ⅲ）令sinxt，有2212200sincoscos41xtdxtdttx，因此101arcsin4248xxdx.五、（本题满分8分）设D是曲线sin1yx与三条直线0x,x,0y围成的曲边梯形.求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.解：2203(sin1)42Vxdx.六、证明题（本题满分10分）(1)（5分）若()fx在(,)ab内可导，且导数)(xf恒大于零，则()fx在(,)ab内单调增加.证：12,(,)xxab，不妨设12xx，则()fx在12[,]xx上连续，在12(,)xx内可导，故由拉格朗日中值定理，12(,)(,)xxab，使得2121()()()()fxfxfxx.由于)(xf在(,)ab内恒大于零，所以()0f，又210xx，因此21()()0fxfx，即21()()fxfx，表明()fx在(,)ab内单调增加.(2)（5分）若()gx在xc处二阶导数存在，且0)(cg,0)(cg，则()gc为()gx的一个极大值.证：因()()()lim0xcgxgcgcxc，而0)(cg，故()lim0xcgxxc.由极限的保号性，0，当(,)xcc时，有()0gxxc，即()0gx，从而()gx在(,)cc单增；当(,)xcc时，有()0gxxc，即()0gx，从而()gx在(,)cc单减.又由0)(cg知，xc是()gx的驻点，因此()gc为()gx的一个极大值.七、（本题满分10分）计算不定积分xbxadx2222cossin(其中,ab为不全为零的非负数)解：①当0a时，原式=22211sectanxdxxcbb；②当0b时，原式=22211ccotcsxdxxcaa；③当0ab时，原式=22222(tan)sec11arctan(tan)tan(tan)1adxxdxabxcaaxbababbxb.八、（本题满分15分）(1)（7分）求微分方程yxdxdyx，满足条件0|2xy的解．解：原方程即11dyydxx，故其通解为11211()()2dxdxxxyeedxcxcx.因0|2xy，所以1c.于是所求初值问题的解为xxy12.(2)（8分）求微分方程xexyyy2的通解.解：由特征方程2210rr，知其特征根根为1,21r.故对应齐次方程的通解为12()xyCCxe，其中12,CC为任意常数.设原方程的特解为*()()xyxeaxb，代入原方程可得a14，b14.因此，原方程的通解为*212()()xyxyyCCxe14(1)xxe.九、选择题（每小题4分，满分16分）(1).xexxxfx-,sin)(cos是（D）（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数(2).函数()sinfxxx(D)（A）当x时为无穷大（B）当x时有极限（C）在),(内有界（D）在),(内无界(3)设()fx在xa处可导，则xxafxafx)()(lim0等于(B)（B）)(2af（C）0（D）)2(af在第一象限内，求曲线12xy上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.解：设切点的横坐标为a，则切线方程为2(1)2()yaaxa，即221yaxa故所围面积2312201112(1)(1)224243aaasaxdxaa.令0s得驻点a33.由于3/30as，故所求点的坐标为32(,)33，其最小值为3/3as42393.（A）�f(a)十、（本题满分10分）(4)设.A为�n阶方阵,且Aa0,而�A*是�A的伴随矩阵，则*A=(C)(A)a(B)1/a(C)n1a(D)na