2009年数学(一)真题解析一、选择题(1)【答案】(A).【解】方法一g(无)=2ln(1一bx)〜一bx393/(乂)=x—sinax=(1—cz)3+o(工3),由/(jt)〜g(z)，得a=1』=--，应选(A).6方法二vx—sinax1..x一sinax11m—7—----------=—lim---------------—bx)bt-*ox-^limbx-*o1—acosax—…3/i，得a=1.再由lim卑辛■Zf0g\x)COSX=—丄=】9得b=—，应选(A).bb6由卄LOg\x)_晁上2b丁-*03j?方法三g(z)〜一忘39显然a=】9且/(jc)—jc—sinx〜36再由/(工)〜g(工)得b=----9应选(A)・0⑵【答案】(A)・cosjcdro【解】由h=JJ3/cosxdjedy=2D】=(1―jc2)cosxdx〉0,J03/cosxdj?dy=0，2=JJD2I3=JJ3/cosxdxdy=2D3(x2—l)coszdrV0,ocosxdrydy=0J-1丄4jj3/cosxdxdy=09应选(A).D4方法点评：二重积分的对称性是考查的一个重点，关于对称性有:(1)设D关于夕轴对称，位于夕轴右侧的部分为D],则当f(.~~x,y)—f(x,y)时Jj/(j-)d(7=2jj/(o&#039;,j/)d(r.DD](2)设D关于工轴对称，位于工轴上侧的部分为Di，则D当f（x,—y）—f（x,y）时）dcr=2『/0,y）da.DDj（3）当D关于夕—x对称时，『/&#039;（攵,j/）djrdj/）dxdjy.DD⑶【答案】（D）.【解】当一1Wz<0时,/（j?）=1,则F（z）=［/（r）dr—x,排除（A）,（C）；J0因为fd）在［-1,3］上只有两个第一类间断点，所以FQ）为连续函数，排除（E）,应选（D）.方法点评：本题考查定积分的几何意义、变积分限的函数与可积.这类问题需要注意如下几点:（1）若/（工）连续，则FQ）=可导；Ja（2）若/&#039;&）只有有限个第一类间断点，则/Q）可积，且FQ）=连续，在/&#039;（工）Ja的第一类间断点处FQ）不可导.（4）【答案】（C）.【解】方法一因为liman=O,所以存在M>0,使得|a”|£M；由级数工|九|收敛得"f00”=1lim|bn|=0,oo由极限的定义，对€=1,存在N>0,当">“时，2”|v1,从而b\<\bnI,于是当n>N时,a；b：^M2\bn\,因为^M2\bn|收敛，所以由正项级数比较审敛法得工證研收敛，应选（C）.n=l«=1OOOO8=方法二取Q”=（；）4=―9显然lima”=0且级数，bn收敛，但工a血=工一眉^/n"f°°n=ln=l”=1"发散，排除（A）；ooOO°°1取a”=—ybn=一9显然lima”=0且发散，但工Q血=工—收敛9排除（E）;兀Xn_*°°n=ln=ln=l九取an=*,b”=匸，显然lima4n—=0且工b”发散，但工a宓=n=\”=1n=1g收敛，排除（D）,应选（C）.（5）【答案】（A）.【解】令A=（ai，a2，a3）,1012011ai巧a2，—a3由00001~3020003又由(。1+a2,a2+(Z3,a：<+ai)=A1110|,得、01U(a1+a2,a2+a3,a3+a,)=Iaj1㊁a2T®3)卩00\/l01\02。卜10%03八01I1/I01\11\2T®3/20,33&#039;即从©，㊁a2，+a3到+a2.a2+a3,a3+a!的过渡矩阵为2&#039;o020，应选(A).33/方法点评:本题考查向量空间两组基之间的过渡矩阵，维向量空间有如下三个概念是数学一考生需要掌握的内容：设R为n维向量空间，则（1）设a1‘a?,a”为"个"维线性无关的向量组，称a,,a2，•-,an为R"的一组基；（2）设5‘a?,…，a”与風，…，0”为R"的两组基，若（"1，卩2，…，0”）=（5‘a?,…，a”）Q,则称矩阵Q为从基a】，a2,…，a”到基触，庆，…』”的过渡矩阵；（3）设a】，a?,…，a”为R"的一组基，aGR",若a=a】ai4-a2a2+••-+a„a„,（a1,a2,••-,an｝为向量a在基a,,a2,•••,an下的坐标.应选（B）.（6）【答案】(B).【解】OA=(一1严2\A\.|B1=6,则BOAy=°A\t°O)BOPfiO>\A_1方法点评：本题需要熟练掌握如下知识点：OA（1）设A,B分别为加阶和”阶矩阵，则=（一|•|；BO（2）设A可逆，则A*=IAlA"1；/OA、t/Obt、⑶=「•5O&#039;“To&#039;更一般地有：设A,jB为m阶可逆矩阵，且IA\=a,\B\=b,则&#039;AO\OB)OA\BO丿ICAOOB°r=abrB丿\OO\_/abA~}B^l\O°\=lbAabB~x>VO人)=(-l)mnabl°B)=(—1)如(OaBO&#039;O/\6A*OAOOB(7)【答案】(C).【解】/"(工)=0.3爭(攵)+0.35爭(一)，f+°°,C+00(X一1\,p-°°(JC—1)+1(X—1\,/x—1E(X)=0.3J工爭(工)血+0.35j工卩(一-—jdr=1.目----------讥一-—丿d(—-—=1.+°-C4X—12Ef+8x(p(x)dj：+0.7J—oo(p(x)djc=0.7,应选(C).(8)【答案】(B).【解】Fz(z)=P{Z£z}=P{XY£z}=P{Y=0}P{XY^zIY=Q}+P{Y=l}P{XY^z\¥-1}=P{Y=Q}P{z^0}+P{Y=l}P{X^z}=yP{z^0}+jP{X<z},当zVO时，Fz（z）=—;当时，Fz（z）=*+土①（z）,—0（z）»zV0...