1991年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)⑴设r=1+z2=COSt9(2)由方程心+丿工2+夕2+/=扼所确定的函数z=z(工，夕)在点(1,0,-1)处的全微分dz=・⑶已知两条直线方程为0：三二=千=工二等丄2：王尹=+，则过L］且平行1U——1Z11于l2的平面方程是________.2(4)已知当工―0时，(l+a工巧丁一1与cosh—1是等价无穷小，则常数a52(5)设4阶矩阵A=0020010001-2011，则A的逆矩阵A-】=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)1+e_j2(1)曲线y=十—八).1—e(A)没有渐近线(C)仅有铅直渐近线(B)仅有水平渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f(x)满足关系式_/(工)彳：”*)曲+ln2,则f(x)等于().(A)eTn2(C)ex+ln2(B)e2jln2(D)e2x+ln2⑶已知级数工(一1)"一0”=2,»2”t=5,则级数工a”等于()•n=ln=1n=1(A)3(B)7(08(D)9(4)设D是平面JcOy上以(191)9(—191)9(—1?—1)为顶点的二角形区域,Di是D在第一象限的部分，则(攵》+cosxDsinAy等于()・cosjcsinydxdyDi(C)4jj(Di(A)2jcy+cosxsiny)dr(B)2jjxydxdyDi(D)0(5)设"阶矩阵A,B,C满足关系式ABC=E,其中E为n阶单位矩阵，则必有().(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)求lim(cosT.z—o+(2)设"是曲面2工2+3夕2+/=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=丿6工2+8声在点p处沿方向"的方向导数.Z(3)求JJ(^2+j/2+z)dv,其中。是由曲线二绕z轴旋转一周而成的曲面与平面n=4所围成的立体.四、（本题满分6分）在过点0（0,0）和点A（兀，0）的曲线族夕=asin夂（<2>0）中，求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的曲线积分［（1+J/3）da-+（2x+y）dj/的值最小.五、（本题满分8分）将函数于（工）=2+|h|（—1£工£1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数Y—的和.n=1九六、（本题满分7分）设函数于（工）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且3［：于（工）dr=于（0）,证明：在（0,1）内存JT在一点C,使得=0.七、（本题满分8分）设a】=（1,0,2,3）,a2=（1,1,3,5）,a3=（1,—1,a+2,1）,a4=（1,2,4,a+8）及P=（1,1』+3,5）.（1）a,b为何值时,0不可由a】‘a?皿35线性表示？（2）a,b为何值时,0可由a】,a2,a3»a4唯一线性表示？并写出该表达式.八、（本题满分6分）设A为"阶正定矩阵,E为"阶单位矩阵，证明：|A+E|>1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P（x,y）处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线与工轴的交点），且曲线在点（1,1）处的切线与工轴平行.十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）（1）设随机变量X服从均值为2、方差为/的正态分布，且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=________.（2）随机地向半圆0<夕</2处一工2乂>0）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则原点与该点的连线与工轴的夹角小于手的概率为4-------------十一、（本题满分6分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为.、工>0,夕>0,心八1。，其他，求随机变量Z=X+2Y的分布函数.