2019年数学(一)真题解析一、选择题(1)【答案】(C).【解】方法一...x一tanx[.1一sec2jc由忸二=!吧—t得tanx~----x39故工--tanx为3阶无穷小9即k=3：应选(C).方法二由tanx=jc+£工3+。（工3）得x一tanx〜x3（乂—*0）,0O故b=3，应选(C).(2)【答案】(B).【解】由lim了----=lim|x|=0得f'_(0)=0,工一0—o_由lim"巴〉----~~~=limInx=—00得f；(0)不存在，Lo+H—0—o+故広=0为/(jc)的不可导点；当工V0时,f(x)<0=/(0),当0<工Vl,f(x)v0=y(0),故工=0为f(x)的极大值点，应选(B).(3)【答案】(D).【解】因为｛"”｝单调增加有界，所以｛“”｝极限存在.n设hmun=A,因为(况：+1—u\)=况：+1—诟.心°°—n所以lim工("：+]—"：)=lim(记+1—Uj)—A2—u\,应选(D).(4)【答案】(D).【解】因为曲线积分与路径无关，所以字=学=4,且)在上半平面内dydxy连续可偏导，所以可取PQ,y)=工一丄，应选(D).y(5)【答案】(C).【解】令AX=AX(XH0),由屮+A=2E得(A?+A—2E)X=(F+入一2)X=0,从而有入$+入一2=0,即入=—2或入=1,因为|A|=4,所以A!=1,A2=A3=一2,故二次型X'VAX的规范形为碇一龙一工，应选(C).(6)【答案】(A).la11a12Q13\_p1a12a13d1\【解】A=|a21a22a23,|，A=121a22a23dAa31°32S3/a31a32a33dj因为任两个平面不平行，所以r(A)>2,又因为三个平面没有公共的交点，所以r(A)<r(A),再由r(A)£3得r(A)=2,r(A)=3,应选(A).(7)【答案】(C).【解】由减法公式得P(AB)=P(A)-P(AB),P(BA)=P(B)—P(AE),则P(A)=P(B)的充分必要条件是P(A)-F(AB)=P(B)-P(AB),即P(AB)=P(BA),应选(C).(8)【答案】(A).【解】因为X〜N(〃，/),Y〜N(〃2)且X,Y相互独立,X一y所以X—Y〜N(0,2^2),或------〜N(0,l),屁即P{\X-Y\<1}与卩无关，与“2有关，应选(A).二、填空题(9)【答案】」一+」一.cosxcosy3Zf【解】由一=■-cosx•/z(siny—sinx)yox得丄一cosX3zt..—=cosy9fCsiny一sin乂)+工dz1c)Z•------—I—-------------•------dxCOSy3yy___王cosyCOSX1(10)【答案】丿3—2.【解】方法一由2yy'——2=0得繹七积分得ln(j/2+2)—x+C,再由y(0)=1得C=In3,即ln(j>2+2)=ln(3er),从而+2=3eJ,故夕=一2.方法二令亍=u,则原方程化为半■一“=2,Ax解得u=(]^卜“djr+c)』卜"=(-2亍+C)eJ即夕2=(_2「乂+C)eJ=Ce-2,由y(0)=1得C=3,故夕=y/3ed—2.（11）L答案】cos4^・【解】S（z）=工工”=o⑵）！3?（12）【答案】y.(一1)"2淙护（门=2:JJdjcdy=jjIyIdzdy,令Dxy={(2,夕)I工2+夕2W4}，贝I]jj^4—j?2—4z2Axdy=JJ|3/|djrdj/=jj\y\dxdy2》%【解】a/4—jc2—4z2djcdy=d0Ir2sin0d厂=4Jo.•2L2sinOddo（13）【答案】X=k【解】因为cti2线性无关9且S=—a]+2a2,所以r（A）=2,于是方程组AX=0的基础解系含一个线性无关的解向量，由a3=:a1+2a2得ai2a2+a30?-2|为AX=0的一个非零解，故AX=0的通解为X=引一2（k为任意常数）.2（14）【答案】|【解】E（X）='2JC0x4•——cLr=——23FQ)=/(•z)dz9当工VO时,F(j?)=0；当0H时，F(z)=J0当心2时，FQ）=1,即2_*_T即x401\103F&)=20,X2T1,攵<0,0W乂V29工$2,1故P{F(X)>E(X)-1}=”F(X)>吕=1-P『(X)£*2=1-P=1—卩J02X3C—G.X=1------24〔73=T-2后03三、解答题(15)【解】(I)j/十工夕=62的通解为夕=(]e2•e"山dr+C)e"dz=(z十C)e2,2由y(0)=0得C=0,故y=_ze2.工2工2工2(U)/=(1—z2)e2q"=(z3—)e2=x{x+73^)(^：—^/3)e2,令夕〃=0得工=—罷，工=0,无=^39当工&(-oo,-V3)时，/<0；当工6(-73,0)时,/>0；当工e(0,73)时<0；当工G(V3,+oo)时,/〉0,2故y=j:e2的凸区间为(一—V3~)及(0彳梶);凹区间为(一a/3~，0)及?+°°)?2工_旦_旦曲线jy=ze2的拐点为(一a/3~9—a/3"e2)9(0,0)及(V3~?^/3~e^).(16)【解】(I)gradz={2ax^2by}，gradz|(3,4)={6a,8b}，因为梯度的方向即为方向导数最大的方向，所以有里=笔，艮卩a=b,——o——4再由v/36a2+64快=10得a=b=—1.(II)曲面S：z—2—x2—y2,(x,y)GDxy,其中Dxy={(j:,y)|J：2+j^22},则曲面丫的面积为S=H^/1+Zj2+Zy2dj：dj/—JJ^/l+4j;2+4jz2djrdyDpDpr-/2,_____________TT[42丄=2兀|r+4r2dr=—(1+4r2)2d(l+4r2)Jo4J0=yX彳(l+4r喘『=土(27—1)43Io63(17)【解】所求的面积为A=e_J|sinx.|dree~xsinxdjrsinjc+cosx)a+i)”=£1血£|>7+5+e*]=...
