1992年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】ex+y—jysinQy）xsinQy）—ex+y【解】ex+y+cos（«zy）=0两边对x求导得于+，•（1+警）_sin（«zy）•（y+工警）=0,解得兽xsin（xj/）—（2）【答案】2__£_生亍，百，_引・【解】du。工x2壬du3y2ydu2z21229十/十Nx2y2~hz23nx2+y2丄2，du2I4du14If244虹1M=T3y1m9=--，则graduM9LL*9&#039;92（3）【答案】y.【解】于（工）的傅里叶级数在工=兀处收敛于f（兀—0）+/（兀+0）f5—o）+y（—兀+o）7t22=2=T*（4）【答案】夕=（工+C）cosh（C为任意常数）.【解】微分方程yf+3^tanr=cosx的通解为y=（Jcosx•e^3"Xdrdr+C）■e"皿=（x+C）cosx（C为任意常数）.（5）【答案】1.【解】方法一因为A的任意两行都成比例，所以r（A）<1,又因为AHO,所以厂（A）$1,故厂（A）=1.方法二Qi5bS（b]9b29・••』”）=a0T,其中a=如,0=b2、Qn,J.bn.r（A）=rCafi1）£厂（a）=1,再由5H0,6,H0d=1,2,・・・皿得AHO,于是r（A）1,故厂（A）=1.二、选择题（1）【答案】（D）.乂2_］丄丄工2_］丄丄【解】由lim-------ex~=2limex_1=0,lim-------eJ_1=2limeJ_1=+°°,工_1日-一i+工_1—+工2_］丄得lim-------e"-1不存在但不是oo,应选（D）.X->1X—1（2）【答案】（C）.【解】|（-1）"（1-cos十）|=2sii?注〜9OO2oo|Ioo因为若y-\收敛,所以若|(-l)n(l-cos^-)|收敛，即苕(一1)”(1—cos])绝对收敛’应选(C).(3)【答案】(B).【解】曲线的切线向量为T={1,—2t,3/},由{1,—2t,3t&#039;}•{1,2,1}=0得儿=*，上2=1，故与平面z+2y+z=4平行的切线有2条，应选(B).*e"&#039;dx=?—丄o3e特征方程为A2+2A-3=0,特征根为心=—3,乙=1，yf+2yf—3y=0的通解为y=C\+C2eT;令yr，+2yf—3y=e_3j的特解为yQ(x)=are_3j，代入得a=----,故yr，+2yf—3y=e-3j的通解为y=Cie-3x+C2eJ—(Cl,C2为任意常数).五、【解】补充=0(x2+y2Wa&#039;),取下侧，jj(j;3az2)dydz+(y3+ax2)dzdjr+(z3+ay2)cLrdy(4)【答案】(C).I2j:3,zVO,[6x2.工<0,【解】/Q)=/(x)=〔4工“，工$0,\\2r2,工>0,(12x,工V0,显然(0)==0,f&#039;\x)=\】24工,工》0,(0)=limf■(王?=12,/+(0)—lim彳—24,_。一工一。+工因为/*(0)丰/：(0),所以/(n>(0)存在的最高阶数n=2,应选(C).(5)【答案】(A).【解】因为鼻与5线性无关，所以三元齐次线性方程组AX=0的基础解系中至少含2个解向量，即3-r(A)>2,得r(A)W1,而选项(B)(C)(D)中矩阵的秩都大于1,所以均不对，只有选项(A)正确.—、_________丄1(1)【解】由1—/—工2=—[(1—J；2)2—1]〜—X2(X—0),得eJ—sinjc—1ex—sinxlim............=lim---------------Z1-J\_fL。J_r221..e—cos工—=lim---------------x-0X=lim(eJ+sinx)=1.x-*0(2)【解】d2Zdj：3y四、【解】M=f；•e=siny+2xf&#039;2,eJsiny•(光•eJcosy+2,yf&#039;[2)+f\•excosy+2x(/ti•excosy+2》兀)sin2y•f"n+2eJ(ysiny+zcosy}f&#039;[2+f\•eJcosy+4巧总.(3)【解】/(x—2)dr=•3f]f(j;—2)d(jc—2)=j/(j?)dx(1+x2)d+工+工］工］az2)dydz+(y3+ax2)dzAjc+(n3+ay2)da:dy,(3az2)dydz+(j/3+ax2)dzdjr+(z3+ay2)dj?(x2+y2+z2)dv=3]d^J2ro05“°"=6tt55JJ(h3az2)dydz+(y3-ax2}Azdx+(n3ay2}AjcAyJJr/dzdy=—-|2+/"(j:2+y2)dj?dy2+2=IJaj/2dj：dj/=一a故『（z3+az2）dj/d^+（y3ax2）dzda:+Cz3ay2dy=竺a5+-7-a5=^7ra5.JJ5420s六、【解】不妨设0V,V工2，由拉格朗日中值定理得/（xi）=/（x1）—/（0）=尸（£1）工1,其中0V&Vg，+工2）—于（工2）=F侯2）工\&#039;其中工2＜f2V工1+工2&#039;因为厂（工）V0,所以/（^）单调递减，又因为＜e2,所以厂（£］）＞/&#039;（5），即/（^1）＞f〈工\+工2）一/（工2），故f〈工\+无2）V/（JC1）+才（工2）・七、【解】直线段OM-X=&,歹=护，N=“，t从0到1,功W为W=［yzAjczxdyxyAz=|3^r）^t2At=gr）g・JOMJO下面求W=昭在条件鸟+£+匚=1（£MO,”M0，r20）下的最大值.abc/ez令F（g诃，丫,入）=gr）g+入U—尹—务3F0,2A3F由打dF开dF0,0,0,得V匸22c*2匸22尸2-I从而异=^=尹’即得尹=^=7=r于是得由问题的实际意义知W__=^abc.八、【证明】（1）因为a2,a3,a4线性无关，所以a2,a3线性无关，又因为a},a2,a3线性相关，所以a〔可由a2,a3线性表示.（2）a4不可由«i,a2,a3线性表示，若...