1998年数学(一)真题解析—、填空题(1)【答案】丄7【解】方法一由(]jcY=1+aj:+a5~~x2+o(j;2)得Z!\/1+J：=1+-T-JC----X2+0(工2),Lo\j\—X—1----X-------X2+0(工2),28于是\/1+工+\/1——2=—+。2)_±24z故1口小^+厂^_2x-*-0Ix2方法二11a/1+x+J\—工—2limx-*02vT+T2lim--------------------------------—o2xX2一2jc==±Hm__________4LO丁」、—J4x->0x(Jl+z+工)X\/1—x2(2)【答案】yf(xj/)+(p\x+y)++y).----fGy)+—f'Cxy)+y<p'(.x+y),X工【解】d2zdj：dy=yf"Gy)++y)+*"(工+y)・(3)【答案】12a.【解】由对称性得>C2xy+3z彳+4j/)ds=)(3j;2+4)2)ds=122、+牙)ds=12)ds=12a.(4)【答案】1A12+1.3工丄+1a,【解】设A的对应于特征值入的特征向量为a,则Aa=Aa由A*a=■1a得[(A*)2+E~]aA故(A*)2+E2+1.⑸【答案】4【解】区域D的面积为A=’丄d’=2,1Xdz则(X,Y)的联合密度为b,(z,夕)@D当乂£1或无e2时,fxO=0；f—•11当1<z<e?时,/x(z)=J；丁dy=—,故fx(2)=二、选择题⑴【答案】(A).fX］「工x—==U1C【解】由£/(工2—八)曲=----/(J72—t2)d(j；2—t2}--------—/(u)dzz,•/o2Jozu*oIT—1I显然f'-(1)=lim-------------•(j:2—x—2)|乂(乂+1)|=4,―厂乂_1Ir—1|f'+(1)=lim-------------•(x2—x—2)|jr(x+1)|=—4,一+乂―1因为f'_(1)丰f+(1),所以乂=1为不可导的点，即/Q)有2个不可导的点，应选(B).(3)【答案】(D).则tf^x20—t2)dt=xfQx2)，应选(A).(2)【答案】(B).【解】由lim工f—1心)一4—1)j：+1(无+1)(乂一2)|x3—jclim!-►—1lim(z—2)r-*—1z+1x3—x1=0,0得/(-l)/(x)-/(0)lim------------------•rf0X—0-11,显然f'-(0)=limlim——•(工彳一工一2)工-*0JC—1|=2,—x一2)|x2x—O'X4.2JC—jc—2)|x2f'+(0)=limx-*0+因为jC(o)壬化(o),所以工=o为不可导的点—1|=—2,lim心)—［⑴=limI工_J•Q2—乂一2)|工Q十1)|,Zf1X—1x-*lX—1—3-=°，JC【解】由△，=1+，且字=，或学1dr1+H2dz1+解得夕：二Cearc由y(0)=兀得C=兀，于是【答案】(A).得y=y(z)可微，从而y=y(z)可导，，故y(l)=xe4，应选(D)./、arctanxy\jc)=7teH0,5b\Ciax—a26i—b2cx—c2【解】因为a2b2c2=a2—a3b2—b3c2—c3a3b3C3a3b3C3(4)所以两条直线的方向向量不平行，(B)与(C)不对令Si={a{—s4—力，"—c2}s2={a2—S』2--^3»c2—c3}，](Q3b，。3),./Vf2(a19b、5)分别为两条直线上的点，M}M2={<2i一a3一b,C]—C3},—a3庆一63c1—C3因为M,M2•(SiXs2)=—a2bx—b2c1—5==0,所以两直线共面且不平行，即两直线交于一a2—a3h2—bic2—°3点，应选(A).(5)【答案】(C).一pfAD)【解】由P(B|A)=P(B|A)得=P(AB)P(A)亠ipp■卄八口*血*砧八卡怕P(AB)P(B)—P(AB)由减法公式及补概率的公式得p(A)=—T_m石一，整理得P(AB)=P(A)P(B),应选(C).卜=1+t,三、【解】方法一L的参数方程为lX=t,代入兀得L与7T的交点为M|(2,l,0)；[z=1-t,Mo(1,0,1)EL,过Mo且与re垂直的直线为L'：—-—==—-—,1—1Z(x=1+r,L‘的参数方程为Lzy=—t,代入tt得垂足坐标为M2(#，*，*)，=1+2t,MN：={#'#，-*}，故L。jc一2y一1z~T~=丁==T设L。绕y轴旋转一周所得的旋转曲面为工，任取P(x,y,z)6X,其所在的圆周对应的L。上的点为卩0(工0，夕，No),圆心为7(0,3/,0),由IPTI=\PqT\^x2+z2=Xq+Zq9再由_?0(工0，歹，之0)WLo得---=T—=—9解得Ho=2y,No=——,4Z—1c故工的方程为心？—17j/2+4z2+2y—1=0.方法二[工一1=y_T—1vZ—111lx—y—1=0.直线L：—丄=斗=T的一般形式为L」L：11-1y_Z-1U+n_]=O,[T=—19过直线L的平面束为7r0：(j:—3/—1)+A(j/+^—1)=0,即兀0：工+(入一1)歹+入N—1—A=09由{1,—1,2}・{1,入一1,入}=0得入=一2,[x—3V—2n+1=0,则投影直线为\jc—y2z—1=0.显然Mo(2,l,O)eL0,L0的方向向量为s={1,—3,—2}X{1,—1,2}={—8,—4,2},直线Lq的点向式方程为Lq:—-—=―-—=―・4Z—1设L。绕，轴旋转一周所得的旋转曲面为工，任取e工，其所在的圆周对应的Lo上的点为卩0（工0，』，之0）9圆心为T（O,j/,O）,由IPT|=\PqT\得Z2+小=无舟+云，再由Po（2o，No）GLq得工942=»21=解得无0=2』，之0=~^~2~9故工的方程为心？—17j/2+4z2+2夕一1=0.四、【解】PQQ）=2jcy（d+y2）A,Q（x9y）=—/（工°+y2）A,...
