1994年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案另丄【解】[./11\工一sin工limcotxI-------------I=lim—:--------------X—o\sin\zjcfx-*oxsinxtanxjc—sinjc11一cosx1=hm-------3-----=vlim-------i-----=Tx-»0JQox-*0X0(2)【答案》2工+y—4=0.『解鬥令F=2xy+n—e2"—3,法向量为m={2y,2h,1—e*}(1,2,0〉={4,2,0},则切平面为4(工一l)+2(y—2)+0(n—0)=C)9即2jc+y—4=0.兀2(3)【答案】尹・du0JC—x•_亠I—esin-----y-—cosyJCy带uxe°xe"xjcex.jc-—=—cos----------cos--------1------sin—,yyyyyy故d2u^JC【解】由对称性得yj(x2+y2)dzdy=+J"町九=DTtR~T1丄I(5)E答案》3”t21丄I£712~23~21~2I2_y11丄I所以An=3n-1A=3”t213_3I1_72_1二、选择题(1)【答案1(D).【解】M=[2S^n-^~cos4jcAx=0,J_今1+HN=J；(sin3+cos4z)dz=2J2cos4xdx〉0,~~2P=[2(j;2sin3j：—cos')dr=—2[2cos4jcdj?V0,J——Jo2则PVMVN,应选(D)・（2）【答案】（D）.（D）H（0,0）,【解】取f（D）=工+»'0,（工,夕）=（0,0）.由lim/（-r＞0）-/（0,0）=o得斤（0卫）二。,同理£（o,o）=0,即f{x,y）在（0,0）处可偏导.工f0X—0因为,jy）=£Hlim/（x,j/）=，所litlim/（工，歹）不存在，故f（jc,y）在（0,0）处不连续；j--*0ux-*0Zx-*0y=工y=一工y-0令产（z，y）=I|+Iy|'显然芦（工，夕）在（0,0）处连续'因为lim/（宀0）—W?曰曲4不存在，所以/（x）在（0,0）处对x不可偏导，同理fG,y）在x-*0JC-r-*0JC（0,0）处对y也不可偏导.故f（x,y）在Q。，％）处可偏导既非在（工。，九）处连续的充分条件也非必要条件，应选（D）.（3）【答案】（C）.+2\>n十入因为及工-^―都收敛，由正项级数的比较审敛法得工n=\n=1X十入”=1i"音收敛,8II即£（—1）”/仝"丄-绝对收敛，应选（C）.”=1\/z22+入（4）【答案］（D）.【解】匸c..atanjc+6(1—cosx)由2=lim------------------------------------—cln(l—2h)+/(1—已卞)•r-*0atanjc十b(1—cosx)xx=lim2L0cln(l—2h)+/(l—)Xa得＜2=—4c,应选（D）.（5）l答案】（C）・『解』方法一由（＜X1+么2）—（化+庄3）+（。3十S）—（仅4+（X1）=0得向量组«1+«2,«2+^3^3+«4^4+®!线性相关，（A）不对;由（。1—</2）+（。2—03）+（么3—。4）+（。4—。1）=0得向量组—么2，。2—。3，。3—。4，。4一线性相关，（B）不对；由（5+a2）—（a2+a3）+（a3—a4）+（«4~«i）=0得向量组a}+a2ta2+a3，a3—«i线性相关，（D）不对，应选（C）.方法二令A=(aj,a2,a3,a4),因为ax,a2,a3,a4线性无关，所以r(A)=4.-10001101令B=(«1+a29a2+a33+9a4--ai),则〃=A011001100--1100_1100_1、1100()1011100因为0110=0110=2H0,得01100011()011<0011,01满秩,所以r（B）,(X4_°1==厂(A)==4,苗C(X1+a29(X2+a3，a3+a41线性无关，应选（C）.（1）【解】dy/didx/AtcostI2—2z2sint2—2t•—cost2I=一JCSCXd(cotH)=—CSCXcotX——cscxcotx—I+In|cscx—cotx*(—cscjccotj;+InIcscx—cotx|)+C,..=丄(—cscxcotj;+InIcscx—cot|)------\-----\-C・sinlx+2sinx44sinx四、【解】令纭：N=—R（工$+y2£R2）,取下侧，S2:z=RCx2+y2WR2),取上侧，—2^sint22t（2）【解】ddx/Atd2=—Jin甘则葺L君1J2x/(.)=-1-10(1+.)-yln(l-.)+1—arctanx—xdj;f(0)=0,"）=莎±5+丽£一1=吕一i=刀(，)"=刀h"(—1<；xm=1n=l<1),于是于(工)=f(jc)~■/(0)=/'(•r)dz=Y0n=l4”+lX4n+1(-1<x<1).（3）【解】dxsin2x+2sinx=丄f______空_______2Jsinjr(1+cosx)1f(1—cosx)djr=TJ—sin3j;令/=csc3xdr,则3jtdjr----sin3xd(sinx)H-----—4sin\zCSCXcot2J；dj；故2:N显然』S3：x2+y2=R2(—RWzWR),取外侧，t严逻旳2=o,J工2+夕+之'3因为2广2,d为Z的偶函数，所以x+y+z于是I=再由』xdj/dz弋工十夕十Nzdydz_2—7~2I__2—U'x+y~rz•f亍聘」o,故工十J/十N・r十勺=rrz心血Pl”无2+』2+才”引2：申J?+『2+乙2Z2rrz2AxAyI]x2+y2+z2=■JH十3/十N'2&CPjcdydz£H2+y2+N工3Txd;ydzJjc2+y2+z2‘32・令羽Jd+b=R2Q$0),取前侧，因为2|：；飞为工的奇函数,jc+y+z所以I=Z3xdydz十；/+/=2CPjcdydz：JJx2+y2+z2T(l)丿32■Rdy-R■「R-R血2p2血=8「'<R2_『2曲'RR2+z20RdzoR2+z2=8X^X...
