2020年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)当工―o+时，下列无穷小量中最高阶的是(’).(A)「(e，-l)dz(B)Kind+7^)^J0JorsinxCl—cosjc------------(C)sin厂dr(D)vsin3ZdtJ0Jo(2)设函数fd)在区间(-1,1)内有定义，且=0,则().(A)当lim了\工\=0时,/(j?)在工=0处可导L0/hI(B)当lim心孕=0时,/(x)在x=0处可导L°X(C)当/(jc)在工=0处可导时，lim仔"=0/工|(D)当f(j?)在久=0处可导时Jim')=0l0x(3)设函数f(x,y)在点(0,0)处可微,/(0,0)=0,n=,学,一1)(,非零向量a与"垂直，则().(A)lim1n•(鼻，y,y))\存在(工，，)->(0,0)JX212(B)limnX(<r，夕,fa，夕))1存在(X,y)f(0,0)Jjc2(C)lim-a•(工，》,/(工,y))|存在(X,y)->(0,0)Jx2(D)lim1aX(JC9)',f(j：,j))|•存在(<x)-*•((),0)22+夕4）设R为幕级数工5"的收敛半径，厂是实数，则（）.（A）当工a?”严发散时,|rn=l（C）当Ir\^R时，工矶”厂发散“=15）若矩阵A经过初等列变换化成3,则（（A）存在矩阵P,使得PA=B（B）存在矩阵P,使得BP=A（C）存在矩阵P,使得PB=A（D）方程组AX=0与BX=0同解（B）当»2”严收敛时,\r\^Rn=l（D）当|r|<K时，》>2”严收敛”=1）.6）已知直线L]7一a2y—b2与直线L2a2宁相交于-点,la>\记向量a,=b,d=1,2,3,则（）.（A）a1可由a2.a3线性表示（Oa3可由a】.a2线性表示（B）a2可由aj,a3线性表示（D）a|,a2>a3线性无关7)设2,C为三个随机事件，且P(A)=F(£)=P(C)=+，P(AE)=0,P(AC)==P（BC）=右，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为（）.(b4(c4(d4X—a3y—b35b、b28）设X],X2,-,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=O}=P{X=1}=*@Q）log表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得<55}的近似值为（）.1=1（A）l—①（1）（B）0（1）（01-0（0.2）（D）①（0.2）:■、填空题（9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.）j--*00z—1ln(l+工)d210)设1则空y=ln(/+丿厂十1),山'11)设函数/(jt)满足严(乂)+aff(jr)+/(jr)=0(a>0),且/(0)=m(0)=刃9则「+8/(jc)djr=.J0■乜，则r012）设函数/（工q）=djcc)y(1,1)（13）行列式-100-1（14）设X服从区间（-y,y）上的均匀分布,Y=sinX,则Cov（X,Y）=________.三、解答题（15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求函数f（工,y）=工3+8j/3—xy的极值.（16）（本题满分10分）计算曲线积分/=[超[笃血+务学曰夕，其中L是工$+；/=2,方向为逆时针方向.J厶4_z十夕4工十夕（17）（本题满分10分）1OO设数列｛a”｝满足:5=1,G+l）a”+i=（"+刁）a”，证明：当|工|<1时，幕级数工a”z"乙n=1收敛，并求其和函数.（18）（本题满分10分）设工为曲面z=ya-2+j/2（l<a：2+^2<4）的下侧JQ）是连续函数，计算)+2工一Lyf(工夕)+2y+]dzcLz+\_zf(^xy)+djy.（19）（本题满分10分）设函数/■&）在区间[0,2]上具有连续导数,/（0）=f（2）=0,M=max｛|/（x）|｝，证明:工€[0,2]（I）存在ee（0,2）,使得|>m；（n）若对任意的工e（0,2）,|厂（工）|wm,则m=o.（20）（本题满分11分）设二次型/'（U2）=#—4n+4云经正交变换「1）化为二次型\工2/也/g（》i，夕2）=ay\十4）*2+by2,其中a>b.（I）求a,b的值；（n）求正交矩阵Q.（21）（本题满分11分）设A为2阶矩阵,P=（a,Aa），其中a是非零向量且不是A的特征向量.（I）证明P为可逆矩阵；（fl）若AF+Aa-6a=0,求P}AP,并判断A是否相似于对角矩阵.（22）（本题满分11分）设随机变量X】,X2,X3相互独立，其中X］与X2均服从标准正态分布，Xs的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=1y=x3x1+（1-X3）X2.（I）求二维随机变量（X|,Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数①（工）表示；（n）证明随机变量y服从标准正态分布.（23）（本题满分11分）设某元件的使用寿命T的分布函数为FG)=k>0,其他，其中0,m为参数且大于零.（I）求概率P{T>/}与P{T>s+tIT>s},其中s>0,/>0；（H）任取"个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为若加已知，求0的最大似然估计值a.
