2008年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（E）.【解】由广（工）=2_zln（2+/）=o,得工=0,即十（工）只有一个零点，应选（E）.（2）【答案】（A）.3f__1丄I2=1空【解】1「夕J1于+尹行_21十2y由等(0,1)(0,1)=0,则f（x,y）在（0,1）处的梯度为i,应选（A）.XyX~2丄2（3）【答案】（D）.【解】由微分方程的通解为y=Ge*+C2cos2x+C3sin2工，得三阶常系数齐次线性微分方程的特征根为入i=1，入2,3=±2i,特征方程为（入-1）（A2+4）=0,即入3—F+4入一4=0,故所求微分方程为歹〃一/+4夕'一4》=0,应选（D）.（4）【答案】（E）.【解】方法一极限存在定理因为yCz）单调，所以当&”｝单调时，｛产（工”）｝单调；又因为于（工）有界，所以｛/（^„）｝单调有界，由极限存在定理得｛/■&”）｝收敛，应选（E）.方法二反例法f—1,攵<0,（―1）"取/（J7）=50,X—0,工”=---2------，显然f〈工）单调增加，｛攵”｝收敛，n[1,工>0,/一1”=]35…/（o-„）=''显然）｝发散，（A）不对；11,n=2,4,6<,*,22取/（J?）=------，工”=",_/（工”）=-―,----2，显然｛/（□：„）｝收敛，但｛工”｝发散，（C）不对;1+工1十/?取/（jr）=arctanx,xn="，显然）｝单调增加，但｛z”｝发散,（D）不对，应选（B）.（5）【答案】（C）.【解】方法一逆矩阵的定义由a3=O,得E=E-A3=（E-A）（E+A+人2）.由可逆矩阵的定义得E-A可逆且（E-A）"1=E+A+A2；再由E+A3=（E+A）（E-A+A2）得E+A可逆且（E+A）^=E-A+A2,应选（C）.方法二定义法求特征值令AX=AX（XH0）,则A3X=/X,由A?=O得入収=0,从而A的特征值为入】=&=入3=0，于是E—A与E+A的特征值为1,1,1,由|_E—A|=|EA.\—1工0得E—A与E+A都可逆，应选(C).(6)【答案】(E).(22空一儿=1【解】题目图中的曲面是由L：U2b2'绕工轴旋转一周而成的曲面，[z=0222曲面方程为工：3—忤一寻=1，则A的正特征值个数为1个，应选(E).abh(f(无y)=0方法点评：(i)平面曲线l：‘’绕工轴旋转所得的旋转曲面为=0：/(j:,+Vy2z2)=0；平面曲线L绕y轴旋转所得的旋转曲面为Sy:/(+Jx2+z2,y)=0.(2)二次型的标准形不唯一，但二次型的正、负惯性指数是唯一的，即二次型标准化后正、负惯性指数不变.(7)【答案】(A).【解】由分布函数的定义得FzQ)=P{Z£工}=P{max(X,Y)W工},由X,Y独立同分布，得Fz(T)-P{X<j：,Y<^}=P{X<x}P{y<^}=F2(^),应选(A).方法点评：设(X,Y)为二维随机变量，Z=°(X,Y)为(X,y)的函数.求Z的分布时，一般采用定义法，即Fz(z)=P{ZQ}=P@(X,Y)如下两种常见的随机变量的函数的分布需要熟练掌握：⑴Z=max{X,Y}Fz(z)=P{Zz}—P{max{X,Y}£z}=P{X若X,Y相互独立，则Fz(z)=P{X<z,y<z}=P{X<z}P{y<z}=Fx(z)Fy(z).(2)Z=min{X,Y}Fz(z)=P{Z=P{min{X,Y}Wz}=1-P{min{X,Y}>z}^1-P{X>z,Y>z},若X,Y相互独立，则Fz(z)=l-P{X>z}P{Y>z}=l—[l-P{X《z}]・[l—P{YWz}]=1一[1—Fx(z)]・[1-Fy(z)l(8)【答案】(D).【解】因为pxy=1的充分必要条件是P{Y=aX+b}=1C其中a>0),排除(A),(C);由E(X)=0,E(Y)=1,得E(2X+1)=1=E(Y),应选(D).方法点评：(l)Qxy=1的充分必要条件是P{Y=aX+6}=l(a>0)；(2)(oxy=—1的充分必要条件是P{Y—aX+b}=l(aV0).二、填空题（9）【答案】丄.X【解】方法一由工夕'+夕=0,得半■+丄y=0,解得y—Ce=—.djrxx由夕（1）=1,得C=l,于是；y=丄.x方法二由xy'+3/=0,得（巧）'=0,即攵夕=（3.再由夕（1）=1,得C=l,故所求的特解为夕=丄.X（10）【答案】y=H+1.【解】方法一sindy）+ln（j/—x）=x两边对工求导数.得cos(jcj/)越丿y—将x—0,y—1代入得字=1.drx=o故曲线sin(巧)+ln(j/—J?)=X在点(0,1)处的切线方程为夕一1=工一Ch即:y=力+1・方法二令F(jC9j/)=sin(Hj/)+ln(jy—无)一2，1]/3；cosxy---------------1ay_戶工____________夕—工d7=_兀='I-xcosxyH----------y—切线的斜率为怡=£=1?dr(0,1)故切线方程为夕一1=久，即）=工十1.(11)[答案】(1,51【解】由5>”（工+2）"在工=0处收敛得的收敛半径R羽0+2|=2且n=0n=0»”2"收敛；n=0008由工Q”（Z+2）"在工=—4处发散得工5工"的收敛半径RW|—4+2|=2且n=0n=0》>”（一2）"发散，n=Q即幕级数工a”"的收敛半径为R=2,收敛域为（一2,2],“=0故（2—3）"的收敛域为一2Vh...
