1999年数学（一）真题解析一、填空题(1)【答案】y..5、-/11\tanjc—工tanx—J：LMJhmI—T-------------I=lim-----------=lim-------------•r—o\jcxtanjc/工―ojctanjcx—ojcsec2j;—11=lim--------；----=可・—3工$3(2)【答案】sinj;2.rijq—t=iirorx【解】由sin(jc—t)2dt..........sinu2(—du)=sinu2du得J0vxJ0-—Jsin(j;—t)2dt=-—Isinu2du=sind<zJodj;Jo(3)【答案】Cie~2j+C2e2",C2为任意常数).【解】特征方程为入2_4=0,特征根为A1=-2,A2=2,则y，r—4j/=0的通解为歹=C1e_2x+C2e2j-；令夕"一4y=e2x的特解为y0(j')=axe2x，代入得Q=~^，故y"-iy=e"的通解为y=C&"+C2$,C2为任意常数).(4)【答案】入1=入2=…=入“-1=0,入”=XA—1—1…一1—1A—1…一1【解】方法一由丨AE—A|=...=An_1(A—n)=0得-1-1・・・A-1A的特征值为入i=心=…=入”-1=0,入”=心方法二因为AT=A，所以A可对角化，从而A的非零特征值的个数与r(A)相同，由厂(A)=1得A只有一个非零特征值，又因为trA=n=+A2+•••+A„,所以A的特征值为入】=A2=…=入”_1=0,入“=兀・(5)【答案】4【解】令P(A)=p,而P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3p—3p2,q13贝!j3p—3p2=花，解得P=—或》=〒，1o44由P(A)<£得P(A)=£.24二、选择题(1)【答案】(A).【解】若/'(工)是奇函数，FQ)=J/(z)dr,贝！JF(—x)=Jf(t)dt=J/(—w)(—du)=J/(u)dzz=[f(u)du+f/(u)dw=[/(w)dzz=F(z),即FQ)为偶函数，应选(A).(2)【答案】(D).【解】f'+(0)=lim/⑺]f(0)=lim—竽=0；Zfo+T—°x-*0+JC\[xfl(0)=lim]厂=limzg(z)=0,_r-0_无_0工-0一因为于；(0)=fl(0),所以/(a：)在工=0处可导，应选(D).(3)【答案】(C).【解】显然SQ)是以2为周期的偶函数，则S(-y)=s(—*)=S(y),而s(*)3亍应选(C).(4)【答案】(B).【解】当勿>"时，广(A)W",?-(B)W,因为r(AB)Wmin{r(A),r(B)},所以r(AB)W”,于是r(AB)<m,即AB为降秩矩阵，故|AB|=0,应选(B).(5)【答案】(B).【解】因为X,Y相互独立且X〜N(0,l),Y〜N(l,l),所以X+Y~N(l,2),故P{X+Y=1}=*,应选(B).三、【解】n=jcfJjc+y)与F(j:,y9z)=0两边对x求导得axaj?T~=f+xax咗+F堆2即[IF堆+F眾“如侣血(于+订')£—好'£卄，…、解得齐=―F；+"F；—(几+"2工0).四、【解】令PQq)=exsiny—b(z+；y),Q(h,j/)=e"cosy—ax,dxdyF：,I=(Q_—_Isiny—+y)]dz+(e"cosy—az)dy,L+OAJOA7而((6—a)drdy=D*「2a—siny—b(jc++(excosy—ax)dj/=—bxdx=—2a2b•,oaJo>—[exsiny—b{x+夕)]dz+(e°cosy—ax)dy=L+OA-^-(b—a)a2j(y+2)a26-五、【解】方法一曲线y=)上任一点P{x,y)处的切线为Y—y=j/(X—«z),故J=(6—(2)(22+2(226=五题图兀3令Y=0得X=x—亍,切线与x轴的交点为Q(z一于°)，垂足为TQ卫),则S1=£•Z，s2=[y(t)dt,ZyLyJo由2Si—S2=1得与一[y(t)dt=I9yJ。两边对工求导并整理得=“J令J=P，则yf=P学，代入得ypdp_2因为PHO,所以学---P=0,解得p=Cieyy=Cxy,由歹(0)=l,“(0)=1得Ci=1,即字一夕=0,解得y=C2e=C2ex9再由y(0)=1得C2=1,故夕=e°・方法二曲线』=』(工)上任一点PQq)处的切线为Y—夕=“(X—工)，令丫=0得X=工一亍,切线与工轴的交点为<2（工一亍,0），垂足为T（h,0）,则S1=寺•3，S2=[y（t）dt9ZycyJ0由2Si—S2=1得—[y（E）d£=l,yJ0两边对工求导并整理得阳"=y",从而竺亍匚=0,即&）'=0,于是;'=G，由夕（0）=l,j/（0）=1得Ci=1,即yf—y=0,解得y=C2e^=C2e",再由y（0）=1得C2=1,故y=e1.2r（^）=-六、【证明】令/（工）=（工$—l）lnz—（工一I）',/（I）=0,f'（.x）=2zlnz+z---------2（工一1）=2xInx—x----------2,/"'（I）=0,xxf'〈工）=21nz+2—1----=21n工+1-------，/""（1）=2>0,xx2_22_1）X当ov乂<1时f"'s<o；当工>1时fO>o,则工=1为y"Q)的最小值点,由严(1)=2>0得/■〃&)$2>0,(/(I)=0,由〃得V)>0Q>0)于是当工>0时fix')A/(l)=0,故当z>0时(z?—l)lnxN(_r—l)2.七、【解】设将空斗从井底拉至井口拉力做功为则<0,（工）>0,0<^<1,从而工=1为八工)的最小值点，•Z〉1,"1=400X30=12000（J）；设拉力对绳做功为W2,取井底起点为原点，工轴垂直向上，取[无，工+dz]U[0,30],dW2=50（30—h）dz,则f30W2=50（30—d）d工=50X450=22500（J）；设拉力...
