2004年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】夕=鼻—1.【解】设曲线y=ln_r上切点坐标为（a,Ina）.因为x+y=1的斜率为一1,所以切线的斜率为1.令丄=1得a=1,切点为（1,0）,切线为y—Q—X一1,即y—x—1.a（2）【答案】y（ln^）2.【解】令e，=/，由y&#039;（e’）=HeP,得十&）=巫，从而十（工）=肛.tX于是）=^-（lnX）2+c\由/（I）=0得C=0,故f{x）=^-（lnx）2.乙Ci（3）【答案】y.【解】方法一令A（V2,0）,B（0,V2）,则xdy一=)——jcdy一2』dr+_jcdy一一_xdy—2ydj?,L+BO+OA*、I—OB]3tt__xdy一2ydx=3jJdjrd.y=3X—X2tt=—DOAL+BO+OA_xdy一2ydx=0,OB_xdy一2j/djr=0,OA于是fJ-dj/—2_ycLz=夢.方法二X=V2COS0，/.7T\起点0=0,终点&=-)，则y=V2_sin0/L令xdy—2y(\jc=>_n2(施cos0•施cos9+2施sin9•V^sin0)d00[2(1+sin2<9)d0J07T+2123tc2（4）【答案】C「y=&#039;~\—|(C19C2为任意常数).【解】令工=*,则工2^=D(D—l)y=當一学，工学=Dy=字,drdtdtdxd/代入原方程得■y*+3-p-+2y=0,通解为y=Cie_(+C2e~z，,drdf故原方程的通解为ycc=-^+-^(C1,C2为任意常数).(5)【答案】y.【解】|AI=3,在ABA*=213A*+E两边右乘A,得3AB=6B+A或3(A—2E)B=A,于是33|A-2E1-\B\=|A|.而A—2E=1°1°\1100,|A-2E|=1,故1B|=—0—J方法点评：本题考查由矩阵关系等式确定的矩阵的行列式.本题的关键是要应用公式AA*-A*A=|A\E.(6)【答案】-e【解】由X〜E(A)，得D(X)专，且其分布函数为FQ)=于是P{X>yDQO}=p{x>yj=l-p{x<yj=l-0,1-广r)=1FeA二、选择题(7)【答案】(B).cy【解】方法一由lim—=lim工-*■()+"zf0，工2tanTTdt0x“COS0Xt2dt------=limcos$=19得a〜乂；工-*()+由lim—=lim丄mx—*-0X丁-*02于是B〜3；lim2工tan「，加—】=?,即m=3,且丘皿r-o+rnxHfo+Holimlo+X&#039;丘sintAdto—-—sinx\fxlim2返-~—----9得加_]=]9艮卩加=2，且lim~^=~~r_>o+mxmlo+z4■x2由lim—=ht+z于是7----4故无穷小量从低阶到高阶的次序为«*,0,应选(B).cosi2d?J0tanT?dtJ0tanT^dtJ0sint3dtJ0方法二因为lim*=limH->o+Po+2lim.士_=-[-oo,o+tanxcosxlim—=limr->0+yJ--*O+limr->0+lim—=lim«r-*o+ah_o+limr-^0"^2jctanx八n—:-----=°’-------•sinx277—-—•sinx\l~x2J~xcosx2cost2dt0所以无穷小量的阶数从低阶到高阶的次序为―丫心应选(B).r/rsint3dt&#039;o0,方法三由t0+时，cos厂f1,tanTT~4t,sint3~t"得「乂—2丄29W1a~]d/=_z,p〜|4tdt=—t2|o——-^3*〜|t3dt——j?2,JoJoooJo4显然无穷小量从低阶到高阶的次序为a,J0,应选(B).方法点评：本题考查无穷小量阶数的比较.判断无穷小量的阶数有如下几种常用的方法:(1)等价无穷小•如：\/1+2—1〜—X2;、「工311(2)麦克劳林公式.如：力—sinx—x一x—------o(jc3)〜—x°；tanx2ljc•(3)待定阶数法.如:a0tant.ax22xdr9lim-lim\~~lim?■，l丄-*oxmx工-*omx得加一1=1.9艮卩加=2,得a~x2(8)【答案】(C).【解】根据导数的定义,/\0)=HmfC®>0.丁-*ox由极限保号性，存在&>0,当0V|工|V&时,4上』(0)〉0.X于是当攵e(—5,0)时，/(工)</(0)；当工6(0,5)时，/(^)>/(0),应选(C).方法点评：本题考查极限保号性的应用.函数在一点导数大于(小于)零与函数在一个区间内大于(小于)零是不同的，需要作如下补充说明：(1)函数在一点导数大于(小于)零的情形若/(«)>0,由导数的定义，y&#039;(a)=lim公王上二仏2>0,由极限的保号性，存在5〉0,x-^aXCl.,..,f(工)一f(a)十e亠MdV/a)，xCa—8,a),当0V|z—a|V5时，...........>0,于是有(但/(工)工一a\f(x)>/(a),HW(a,a+&),在工=a的去心邻域内不一定单调增加；若/(«)<0,由导数的定义,f\a)=1曲"°)二八")V0,由极限的保号性，存在5>0,x~~^aJCCL,,,,f(x)—f(a)口亠xG(a—89当0V|z—a|V5时9-------------------<C0,于是有但f(H)力―a\f(x)</(a),j：W(a，a+5)，在jr=a的去心邻域内不一定单调减少.注意函数在一点处的导数大于(小于)零不能推出函数在该点邻域内单调递增(递减)，~1-工+x2cos丄9力工0，,，・如：/(x)=52x显然/Xjc)在工=0处连续.|o，2=0，又lim-------------------=limI—+j?cos——I=-—>0,z-*0xx-*0\2xf2当"HO时，_TQ)=》+2_zcos++sin£,因为厂]2”兀十守=号>0/]2n7r----—=—V0,所以ff(J；)在z=0的...