1996年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案】In2.［解］由=iimr(i=申=8,z-*8\jc—a/工~8\x—a/」得3q=31n29即得a=In2.⑵【答案】2jc+2y-3z=0,【解】设所求的平面方程为Tt-.Ax+By+Cz+D=0,因为该平面经过原点，所以D=0,又因为该平面经过点(6,—3,2),所以6A-3B+2C=0,又因为该平面与平面4无—y+2z=8垂直，则4A—B+2C=0,33解得3=A,C=----A，故所求平面为re-Ajc+Ay-------Az=0,即兀：2工+2》一3n=0.(3)【答案】夕=ex(C2cos+C2sin^)+eJ(C.,C2为任意常数).【解】特征方程为A2-2A+2=0,特征根为入］池=1士i,yf—2yf+2y=0的通解为夕=(C】cosjc+C2sinx);显然y=ex为方程yf—2yf+2y=ex的一个特解，故yf—2yf+2y=ex的通解为夕=e"(C】cosx+C2sinx)+ex(Cj,C2为任意常数).(4)【答案】y.则所求的方向导数为讐|【解】Adu1x+Vy2+z213yx+\/y2+z2Vy2+/du1zdzx+Vy2z2Vy2+/1duI=0,字=寺，AB={2,-2,1}dj：1（1,0,1）2dy1（1,0,1）3z\22门21cosa=—,COS0=—-—，cosy=T53u1cosa+—cos0十—cos/=—.（i,o,i）I（1,0,1）dzI（1,0,1）L(5)【答案】2.1因为|B|=0-1【解】0220=10H0,所以矩阵B可逆，03由矩阵秩的性质得厂(AB)=r(A)=2.二、选择题(1)【答案】(D).【解】x+ay（工+（工+J/）29Pa^x+j^)2一2(«z+y)(z+ay)_a(jc+y)—2(Jt+ay)9Q_—2y3y(jc+j^)4(h+j/)‘'(j;+j/)3由学=学得a(.jc+y)—2(j?+ay)=—2y,得a=29应选(D).oxdy(2)1答案】(E).【解】因为lim半竿=1〉O,所以由极限保号性，存在8>0,当OV丨乂丨<5时，半竿>0,即厂Q)>0,从而y'Q)在(一5,6)内单调递增.(x)<C0,xG(—5,0),再由/(O)=0得得/(0)为/(^)的极小值，应选(B).1/(^)>0,乂6(0,5)(3)［答案】(A).【解》因为正项级数工a”收敛，所以工a?”收敛,”=1"=1绝对收敛，应选(A).『解】FQ)=加2”得级数Y(―1)"”=1Ia2n收敛,(j：2—z2)/(z)dz=jc20—Jz2/(z)dz,Ff(x)=2xJ/'(£)dt,由lim尸)=21im工~*0JC3x-*0丄工=lim@)T(°)=八0)工0彳骅=3.X—0X(5)【答案】(D).【解】将行列式按第一行展开，得a!000a2b20635b400b\005arAn+"Ai4=aZii—6iM14如b200b250—b\06300^4b\00=a1cz4(a2a3—b2b^)—bxb^Ca2a3—b2b3)=(a1tz4—6^4)(a2a3—b2^3)9应选(D).(1)【解】弧长I=2+r，2(9)dd02%/a2(1+cos)2+a2sin29d9J0=2施a+cos9dd=4aJ0*ecos—d902=8a\os|d029_=8a2costdt=8a・000(2)【解】令夕=fG)=\/6+h,因为f'Q)=―>0,所以©”｝单调.2丿6+匸由G=10〉孔=4得数列&”｝单调递减，再由工”>0得数列&”｝单调递减且有下界，故数列&」收敛.令limjc”=A,由z卄1=5/6+jc„得A=\/6+A，解得A=3.四、(1)【解】令Si：n=1(j:2+y2W1),取下侧，则”(2工+n)dydz+ndrdy=s分(2j:z)dydzzdxdy—jj(2xz)dydzzdxdy9S+S]S]由高斯公式得©(2工+n)dydz+ndrdy=S+S]ndv=_3「dzJ0'dzdy=—3k2+/w'J]3kzdz=----—o2』(2«z+n)dydz+ndrdjy=—siJjdrdy=—兀,2+/<i故』(2乂+n)d』dz+ndrdy=—s7C~2(2)【解】3za?dzdu3z3vdud-vdxdzdudzdz3z•----------•—=—2-------ra—«dydvdydudv津z_3工2d2Zdu.d2zdp…2〜一Iz九Andv•——I—-----------•——I-----------•，—I—‘•———3工du^Vdx3ydudjcdv2djC語+2競+养,3jcdu^vd2Z3j：dy=~2^+a去_2去+ad2Z养=-2养+(「2)猛+°d2Zdy2d2Zdyz-2d2Zdud2Zdv\du2Bydudydy丿d2Z+a32Z0%/Ndv\dydu3ydy2dy丿-2卜2f>a2競)+a(-2去+a3vdud2zdy24养-也競+川舒代入整理得g2q2(5a+10)-—F(—a2+a+6)-■―7=0,dydudy5a+10#0,于是・++6“解得<2=3.五、【解】令S(z)=丫---(—1V工VI),”=2n—1则SQ)=*(g土_lh命)'2S(0)=0当HH0时,S(H)=ySn=21Xn+1X\~yXn1pXn-yln(l-x)-^(S00nX-------X1九1J72x21JCln(l-^)+T+T，n=2六、【解】P^T7F=SFt-曲线y=于（工）在点（无，于（乂））的切线为丫一于（工）=厂（h）（X—工），令灭=0得丫=/（J7）—jcf\x）,亡FT??/口r/xZ'/zX1由题意得/(x)—jcf(«z)=—I/'(t)dt,整理得x/(j:)—x2=|/(Z)dz,故乞7n=2I0两边求导得ff(x)+xff\jc)=0,即[_xf\jc)]/=0,c解得x/(x)=Ci，或y'Q)=故/Xz)=CJnr+C2(C,,C2为任意常数).X七、【证明】（1）由泰勒公式得f〃(W)/(0)=y(c)+/'(c)(O—c)+丿(0—c)2,Gf〃(£)y(i)=/(c)+/(c)(i-c)+2>(1-c)2,0VVc,两式相减得c2(1_c)2厂(c)=/(l)-/(O)+y//(...
