2012年数学(一)真题解析一、选择题(1)【答案】(C).2I【解】由limy=1,得夕=1为曲线夕二耳耳的水平渐近线；HfOOJ7—12I由limy=°°，得工=1为曲线夕=的铅直渐近线；H-*1X—1显然工=—1不是曲线夕的铅直渐近线，且曲线没有斜渐近线,3C—12I故曲线)=°2f有两条渐近线，应选(C).X—1方法点评：本题考查曲线的渐近线.渐近线是基础而频繁的考点，需要熟练掌握其求法.曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.若limf(x)—A,则y=A为曲线y—)的水平渐近线；工foo若lim/(x)=°°，则jc—a为曲线y—fQx)的铅直渐近线；x~*~a若lim『W=a(H0,°°)9)—ax~]—b则y=ax-Vb为曲线y=)的斜渐才一*8JC"fOO近线.(2)【答案】(A).【解】方法一由/(^)=ex(e2x-2)-(eM-/?)+2(ex-l)e2x(e3x-3)-(enx—“)-------Fn(ex-l)(e2x-2)--(e(n_1)x—n+l)e"’,得/(0)=(-l)"-1(n-l)!,应选(A).方法二由导数的定义，得(0)=limy)---------门°)=lim--------(e2x—2)•••(enj:—n)--(—1)"_1(n—1)!,x-*0xx-*ox应选(A).(3)【答案】(B).【解】方法一由f〈工，y)在(0,0)连续及lim存在，得/(0,0)=0.z—ox+yyf0取y=0,由lim-——-—=lim-------------------------•—存在，得lim-------------------------=0,x—0JCx—0XXx-*0X即fz(0,0)=0,同理f&#039;y(0,0)=0.由limx-*0△N——fy(0,0)j/~2|~2工十夕=limx-*0存在，得fG)~~2~12oAz—ffx（0,0）j;—f&#039;y（0,0）j/—0（/9）,故yO）在（0,0）处可微，应选（E）.方法二由lim々：巴存在，得/（0,0）=0.x-oX+yyf0令p=Jx1+，设Hm=A：则△北=/&#039;（亢9丿）一/（0,0）=0•x+0•夕+o（p）9—0x+yy0由可微的定义得/（工，夕）在（0,0）处可微，应选（E）.方法三取/&#039;（2,夕）=|工|+|y|,lim1订|=1，因为lim了‘°）=工一o|x|十||x->oxyf0lim""不存在，所以/（je,y）在（0,0）处对工不可偏导，由对称性，_/（工,y）在（0,0）处对0JCy也不可偏导，于是fCx,y）在（0,0）处不可微,（A）不对；取显然于（工，夕）在（0,0）处可微，因为lim半）=lim宀不存在，所以x->0|XIx->oIXIlim1不存在，（C）不对；—0IJC1+|3^IL0取/（力，夕）=^y，因为/（力9«y）连续可偏导，所以fG在（O9O）处可微9但lim工〜0x+yyf0不存在，（D）不对，应选（B）.方法点评：本题考查二元函数可微的判断.判断二元函数fQ,y)在点(工0，歹。)处可微一般有如下几个方法：(1)若/&#039;(•z,y)连续可偏导，则在(工。，火)处可微；(2)若Az=f(.T,y)—f(x0,夕0)=ACz—j;0)+B(^—j/0)4-o(JQx_je0)2+(3^~j^o)2)，则f(x,3?)在Czo，夕0)处可微；(3)若fix,y)在(x0,y0)处可偏导，则f{x,y)在(x0,j/0)处可微的充分必要条件是f(D)—/&#039;(工0，夕0)—AQo&#039;jUQ—Ho)—/；(攵o，，o)(y—，o)A11m————r---------------------—---------J———-----------------------—----「=0,「X-*XqP其中°=—xoy+Cy—yoy.⑷【答案】(D).C2k2【解】由12—11=\e"sinxdx<0,得八>匚；J7t「3兀2由13—12=\e"sinxdx>0，得/2<Z3；J2kC3tc2f2n2f3k2I3一Ij=e"sinxdx=\e"sinxAx~\~\e°sinxdjr，J7tJ兀J2nC3n2x—TZ—tf2x2f2n2rfi]e°sinxdx=eG+7r)sin(z+tc)d^=—e(&#039;r+n)sinxdj?,J2kJtcJ兀(*2兀29由I3-/i=[于一eH]sin_zd_z>0,得八<匚，于是I2<h<I3,应选(D).J7C（5）【答案】（C）.003+C4相关，故ai,a3，a4线性相关，应选（C）.1-1【解】方法一a3+a4方法二因为|a】,a3,aA|=00Cl（6）【答案】(B).【解】，因为«3+«4与5成比例，所以«1+«4线性=0,所以a1,a3，«4线性相关，应选（C）.C3由Q=（a】+么2，。29么3）=p|l_111010001得Q~AQ=[1fl&#039;0000\,1/I00\1P_1AP11o01>、001>则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=*-P应选（B）.（7）【答案】（A）.01000110100020101Z、0010002【解】X的密度函数为/x（z）=Y的密度函数为/y（J/）=e0,4严，y>0,0,夕W0.因为X,Y独立，所以X,Y的联合密度为JCx>0,<0；于是p{x<y}=jjf(x=<y4e_Q+30,°+°°e~xdjc0r>0,夕>0,其他，o54严曲=应选（A）.（8）【答案】（D）.【解】方法一设两段长度分别为X,Y,则X+Y=1或Y=—X+1.由P{Y=-X+1}=1,得处丫=—1，应选（D）.方法二设两段长度为X,Y,则X-17（0,1）,且Y=—X+1.由X〜U(O,1)得_/x(h)=E(X)=1,0VEV1,0,其他.■...