2013年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（D）.【解】方法一由洛必达法则，得limX—0x—arctanjc1—亠.1+X.—lim--------—----=lim工-*0kx工-*012丄I.X=—hm—^9kX-OJCx2（1+工彳加H于是％—1=2,即怡=3,且lim壬•二ar》tan工=£,应选⑴）.L0X33----------------O(JC3)得方法二由arctanxx——arctanx工曰7oD1-x~arctanjcx—arctanx1宀、斗小、于是k=3,且hm------------------=lim--------------------=〒，应选(D)・■r~*0X工~*0JQ3(2)【答案】(A).【解】令F(z,z)=/+cos(zjy)+w+工，则n=(F；,F；,F：)=(2_z—jysinQy)+1,—a：sinQjy)+z),曲面a：2+cos(xj/)+w+h=0在点(0,1,—1)处的法向量为n=(1,—1,1),切平面方程为7T:(j?—0)—(j/一l)+(z+l)=0,即兀：工一yz=一2,应选(A).(3)【答案】(C).【解】将函数于（工）进行奇延拓，再进行周期延拓，函数g的正弦级数为〉＞”sin“工.n=1S（_z）为正弦级数的和函数，显然S（x）是以2为周期的函数.于是S（—沃S—S&）.因为工=+为fG）的连续点，所以S（—）=S（—）=—S（+）=—/"（+）=_*，应选（C）.（4）【答案】（D）.DiDi=7r----a:2dxdyD]D1(x2+j/2)dj?dj/=7T----扌&#039;2tcI2=JJ°22-jc2-1—牙)山曲=J(1—于—牙)dr*°20皿!"*“=密Jo8232兀--jjj：2drdy=2tc------{x2+j;2)dj?dj/一D232JJD2&#039;2kd00&#039;吃TT2兀-壬2一x2一1222k2厂&#039;cos&#039;O----r2sin9^42rdr3^2=~T^2\022-j：2一1—[D4D4=[d0[(1一r2cos29—r2sin20)^2rdr=^~J0JoZ兀90因为I,最大，所以应选（D）.（5）【答案】（B）.【解】令JB=（01,02，…,0”），C=（?!,72,•••,/„）.由AB=C，即A（01,仇，…，0”）=（丫1，丫2，…，7”），得A0：=化G=1,2,…，7z）,即矩阵C的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示.因为B可逆，所以A-CB\即A的列向量组可由C的列向量组线性表示.故C的列向量组与A的列向量组等价，应选（B）.,b为列向量，则AX=b等价于•ZiS+x2a2H----+x„a„=b，即b可由A的列向量表示.令A=（5,。2,…，a”），〃=（0i,02，…，0”），C=（yi,人，…，y”），则AB=C等价于Ap,=y,（z=1,2,•••,/?）,即C的列向量可由A的列向量线性表示.（6）【答案】(B).Z1a[200【解】令A=ba，B=0b0haJ&#039;o00因为A.B都是实对称矩阵，所以A~B的充分必要条件是A,E特征值相同.B的特征值为入1—2,A2=6,A3=0.一a—12—b—a1而|2E—A|=一a—1——a2-b—2a-1一a=2a一a11—a001—a所以a=0,即A=Io&#039;1°,、bo|,且A的特征值也为入i=2,入2=b,入3=0.0F故当a=Q,b为任意常数时,A〜〃，应选（E）.（7）【答案】（A）.【解】由Xi〜N（0,1）,得们=P{—2MX】£2}=①（2）—①（一2）=2①（2）—1.X（x\由X2〜N（0,22）,得寸〜N（O,1）,于是依=P|—1W于W1]=2①（1）一1.X_5由X3〜N（5,32）,得•丁-〜N（O,1）,于是p3=FfMX；丿<—1]=①（一1）—①（一£）=①（£）—①（1）.由P1〉P2、P2〉P3，得P1>P2>力3，应选（人）.（8）【答案】（C）.【解】因为X〜/（“），所以存在U〜N（0,1）,V〜/a）且相互独立，使得TJTT2/IX=--------,X2-------F（l,/2）,从而Y=X2,Vvmv/n于是P{Y>c2}=P{X2>c2}=P{X>c}+P{X<-c},由X〜得P{X>c}=P{X<—c},故P{Y>c2}=P{X>c}+P{X<~c}，应选（C）.二、填空题（9）【答案】1.【解】将工=0代入夕一中，得y=l.y—x=两边对x求导，得乎&#039;—1=•（1—y—x警•将z=0,夕=1代入，得学ax=F（O）=1.Ix=0「小]/（7）-/（0）,于是lim/?/—-1-lim-------------------=/70）=1.Tl（10）【答案】c.e+c2e3j-rce2j:（C1,C2为任意常数）.【解】设二阶常系数非齐次线性微分方程为y"+py&#039;+qy=/（^）.由线性微分方程解的结构得％—y3=e3j,y2—=e"为方程_y"+py&#039;+qy=0的两个解，则该方程的特征值为Aj=1,入2=3,故方程yr，+pyfqy=/（jr）的通解为y=Cie》+C2^x-x^x{Cx,C2为任意常数）.（11）【答案】V2.【解】dydj//drdo*/dtsint+cost—sintcostdjr2djrdxcostd?千早业于是而(12)[答案】In2.【解】Inx(1+工)2djr止）Inx1+JCdr=In+°°=In2.rr]H(1+工)x1+11]无(1+2)（13）【答案】一1・【解】由A“=—J,得d「=—A*，两边取行列式，得|A|=（-1）3|A*|=-|a|2于是|A|=0或|A|=—1.因为A为非零矩阵，所以a,j（i,j=1,2,3）不全为零，不妨...