小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点05利用导数研究不等式恒（能）成立问题【六大题型】【新高考专用】从近几年的高考情况来看，恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.【知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】1．不等式恒（能）成立问题的求解方法解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com②恒成立；恒成立；能成立；能成立.(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.【知识点2双变量的恒（能）成立问题的解题策略】1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有：对于某一区间I，(1).(2).(3).【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】【例1】（2024·辽宁·一模）已知函数f(x)=e2x−e−2x−ax，若x≥0时，恒有f(x)≥0，则a的取值范围是（）A．(−∞,2)B．(−∞,4)C．[2,+∞)D．[4,+∞)【解题思路】求导f′(x)=2e2x+2e−2x−a，令g(x)=2e2x+2e−2x−a(x≥0)，利用导数判断函数g(x)的单调性，再由a分类讨论即可得解.【解答过程】由f(x)=e2x−e−2x−ax，得f′(x)=2e2x+2e−2x−a，令g(x)=2e2x+2e−2x−a(x≥0)，则g′(x)=4e2x−4e−2x，因为函数y=4e2x,y=−4e−2x在[0,+∞)上都是增函数，所以函数g′(x)=4e2x−4e−2x在[0,+∞)上是增函数，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以g′(x)≥g′(0)=0，所以函数g(x)=2e2x+2e−2x−a在[0,+∞)上是增函数，所以f′(x)min=f′(0)=4−a，当a≤4时，f′(x)=2e2x+2e−2x−a≥4−a≥0，所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，满足题意；当a>4时，则存在x0∈(0,+∞)，使得f′(0)=0，且当x∈[0,x0)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x0)<f(0)=0，故f(x)≥0不恒成立，综上所述，a的取值范围是(−∞,4).故选：B.【变式1-1】（2024·河南·三模）若关于x的不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm恒成立，则实数m的最大值为（）A．12B．e24C．1D．e2【解题思路】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出lnm≤x−2lnx对于任意的x>0恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解.【解答过程】显然首先m>0,x>0，ex+x+2ln1x≥mx2+lnm⇔ex+x≥mx2+lnm−2ln1x=eln(mx2)+ln(mx2)，令f(x)=ex+x,(x>0)，则f′(x)=ex+1>0,(x>0)，所以f(x)在定义域内严格单调递增，所以若有f(x)≥f(ln(mx2))成立，则必有x≥ln(mx2)=lnm+2lnx，即lnm≤x−2lnx对于任意的x>0恒成立，令g(x)=x−2lnx,(x>0)，则g′(x)=1−2x=x−2x，当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以当x=2时，g(x)取得最小值g(2)=2−2ln2=lne24，从而lnm≤lne24，所以m的取值范围是m≤e24，即实数m的最大值为e24.故选：B.【变式1-2】（2024·四川内江·一模）已知函数f(x)=a(x+a)−ln(x+1)，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)>1恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）求导，分a≤0和a>0两种情况，结合导数的符号判断原函数单调性；（2）由题意可得：f(0)=a2>1，分a≤0和a>0两种情况，结合（1）中单调性分析求解即可.【解答过程】（1）由题意可知：f(x)的定义域为(−1,+∞)，且f′(x)=a−1x+1=ax+...