专题十平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0．(2)O为△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|＝⇔sin2A·OA＋sin2B·OB＋sin2C·OC＝0．(3)O为△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0⇔sinA·OA＋sinB·OB＋sinC·OC＝0．(4)O为△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA⇔tanA·OA＋tanB·OB＋tanC·OC＝0．关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G．④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．考点一三角形四心的判断【例题选讲】[例1](1)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足OP＝[(1－λ)OA＋(1－λ)OB＋(1＋2λ)·OC]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过()A．△ABC的内心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB边的中点(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．(3)在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必经过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心(4)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．内心(5)已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：①，②，③，④则点分别为的A．外心、内心、垂心、重心B．内心、外心、垂心、重心C．垂心、内心、重心、外心D．内心、垂心、外心、重心(6)下列叙述正确的是________．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com①为的重心．②为的垂心．③为的外心．④为的内心．【对点训练】1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心2．是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的()A．内心B．外心C．重心D．垂心3．已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心4．为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的()A．垂心B．外心C．内心D．重心5．在中，，，，则直线通过的A．垂心B．外心C．内心D．重心6．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的A．重心B．外心C．内心D．垂心7．设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的A．重心B．外心C．内心D．垂心8．已知是所在平面上一点，若，则是的()．A．重点B．外心C．内心D．垂心9．P是△ABC所在平面内一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心10．若为所在平面内一点，且则点是的()A．外心B．内心C．重心D．垂心11．已知是所在平面内一点，且满足，则点A．在边的高所在的直线上B．在平分线所在的直线上C．在边的中线所在的直线上D．是的外心12．已知为所在平面内一点，且满足，则点的轨迹一定通小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com过的A．外心B．内心C．重心D．垂心13．已知，，在所在的平面内，且，且，则，，分别是的A．重心、...