必刷大题17解析几何第八章直线和圆、圆锥曲线1.(2022·南通模拟)已知P抛物为线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与C交于点Q(于点异P).直线l与C相切于点P，与x交于点轴M.点过P作l的垂交线C于另一点N.(1)明：段证线MP的中点在定直上；线1234因点为P在第一象限，设P(x0，y0)，则y20＝4x0，所以y0＝2x0，对y＝2x求得两边导y′＝1x，所以直线l的斜率为1x0，1234所以直线l的方程为y－2x0＝1x0(x－x0)，令y＝0，则x＝－x0，所以M(－x0,0)，所以段线MP的中点为0，y02，1234所以段线MP的中点在定直线x＝0上.1234(2)若点P的坐标为(2,22)，判试断M，Q，N三点是否共线.因为PN⊥l，若P(2,22)，则M(－2,0).所以kMP＝22，kPF＝22，所以kPN＝－2，所以直线PF：y＝22(x－1)，直线PN：y＝－2(x－4).由y2＝4x，y＝22x－1，得2x2－5x＋2＝0，1234所以N(8，－42).因为M(－2,0)，Q12，－2，N(8，－42)，所以x＝2或8，所以x＝12或2，所以Q12，－2，由y2＝4x，y＝－2x－4，得x2－10x＋16＝0，12341234所以kMQ＝－225，kMN＝－225，所以M，Q，N三点共线.2.(2023·石家庄模拟)已知E(2，0)，F22，0，点A足满|AE|＝2|AF|，点A的迹曲轨为线C.(1)求曲线C的方程；1234设A(x，y)，因为|AE|＝2|AF|，等式平方后化得将两边简x2＋y2＝1.1234所以x－22＋y－02＝2×x－222＋y－02，(2)若直线l：y＝kx＋m曲：与双线x24－y29＝1交于M，N点，且两∠MON＝π2(O坐原点为标)，求点A到直线l距离的取范值围.1234所以有4k2－9≠0，Δ＝8km2－4·4k2－94m2＋36>0，即m2＋9>4k2且k≠±32，所以x1＋x2＝－8km4k2－9，x1x2＝4m2＋364k2－9，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，得y＝kx＋m，x24－y29＝1⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，直将线l：y＝kx＋m曲与双线x24－y29＝1立，联1234得(k2＋1)·4m2＋364k2－9＋km·－8km4k2－9＋m2＝0，化得简m2＝36k2＋15，把x1＋x2＝－8km4k2－9，x1x2＝4m2＋364k2－9代入，化得简(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，所以OM→⊥ON→，即OM→·ON→＝0，所以x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，因为∠MON＝π2，1234心圆(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离为d＝|m|k2＋1＝6k2＋15k2＋1＝655>1，所以有36k2＋15＋9>4k2且k≠±32，因为m2＋9>4k2且k≠±32，解得k≠±32，圆x2＋y2＝1的心圆为(0,0)，半径为1，1234所以点A到直线l距离的取范值围为655－1，655＋1.所以点A到直线l距离的最大值为655＋1，最小值为655－1，12343.(2023·广州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)，点F(1,0)为椭圆的右焦点，点过F且斜率不为0的直线l1交于椭圆M，N点，两当l1与x垂直，轴时|MN|＝3.(1)求椭圆C的准方程；标1234x2a2＋y2b2解得a＝2，b＝3.所以椭圆C的准方程标为x24＋y23＝1.当l1与x垂直，不妨轴时设M的坐标为1，32，由可知题c＝1.所以a2＝b2＋1，1a2＋94b2＝1，1234(2)A1，A2分的左、右点，直别为椭圆顶线A1M，A2N分直别与线l2：x＝1交于P，Q点，明：四形两证边OPA2Q菱形为.1234当x＝1，时yP＝3y1x1＋2，易知Δ>0恒成立，由根系的系得与数关y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，由直线A1M的斜率为＝y1x1＋2，得直线A1M的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，立联x＝my＋1，x24＋y23＝1，消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，12341AMk由直线A2N的斜率为＝y2x2－2，得直线A2N的方程为y＝y2x2－2(x－2)，若四形边OPA2Q菱形，角相互垂直且平分，下面为则对线证yP＋yQ＝0，2ANk则2my1y2－3(y1＋y2)＝2m·－93m2＋4－3·－6m3m2＋4＝－18m＋18m3m2＋4＝0，当x＝1，时yQ＝－y2x2－2，因为yP＋yQ＝3y1x1＋2＋－y2x2－2＝3y1x2－2－y2x1＋2x1＋2x2－2＝2my1y2－3y1＋y2my1＋3my2－1，所以|PF|＝|QF|，即PQ与OA2相互垂直且平分，所以四形边OPA2Q菱形为.123412344.(2022·衡模阳拟)设椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左点顶为A，上...