2020年数二真题一、选择题(1)当x→0+时，下列无穷小量中阶最高的是()(A)´x0(et2−1)dt.(B)´x0ln(1+√t3)dt.(C)´sinx0sint2dt.(D)´1−cosx0√sin3tdt.(2)函数f(x)=e1x−1ln|1+x|(ex−1)(x−2)的第二类间断点的个数为()(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.(3)´10arcsin√x√x(1−x)dx=()(A)π24.(B)π28.(C)π4.(D)π8.(4)已知函数f(x)=x2ln(1−x)，当n≥3时，f(n)(0)=()(A)−n!n−2.(B)n!n−2.(C)−(n−2)!n.(D)(n−2)!n.(5)关于函数f(x,y)=xy,xy̸=0,x,y=0,y,x=0,给出下列结论：1⃝∂f∂x���(0,0)=1；2⃝∂2f∂x∂y���(0,0)=1；3⃝lim(x,y)→(0,0)f(x,y)=0；4⃝limy→0limx→0f(x,y)=0.其中正确的个数为()(A)4.(B)3.(C)2.(D)1.(6)设函数f(x)在区间[−2,2]上可导，且f′(x)>f(x)>0，则()(A)f(−2)f(−1)>1.(B)f(0)f(−1)>e.(C)f(1)f(−1)<e2.(D)f(2)f(−1)<e3.(7)设4阶矩阵A=(aij)不可逆，a12的代数余子式A12̸=0，α1，α2，α3，α4为矩阵A的列向量组，A∗为A的伴随矩阵，则方程组A∗x=0的通解为()(A)x=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1，k2，k3为任意常数.(B)x=k1α1+k2α2+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数.(C)x=k1α1+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数.(D)x=k1α2+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数.(8)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，α3为A的属于特征值−1的特征向量，则满足P−1AP=1000−10001的可逆矩阵P可为()(A)(α1+α3,α2,−α3).(B)(α1+α2,α2,−α3).(C)(α1+α3,−α3,α2).(D)(α1+α2,−α3,α2).28���������������������二、填空题(9)设x=√t2+1,y=ln(t+√t2+1),则d2ydx2���t=1=.(10)´10dy´1√y√x3+1dx=.(11)设z=arctan[xy+sin(x+y)]，则dz|(0,π)=.(12)斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐.记重力加速度为g，水的密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为.(13)设y=y(x)满足y′′+2y′+y=0，且y(0)=0，y′(0)=1，则´+∞0y(x)dx=.(14)行列式����������a0−110a1−1−11a01−10a����������=.三、解答题(15)求曲线y=x1+x(1+x)x(x>0)的斜渐近线方程.(16)已知函数f(x)连续且limx→0f(x)x=1，g(x)=´10f(xt)dt，求g′(x)并证明g′(x)在x=0处连续.(17)求函数f(x,y)=x3+8y3−xy的极值.(18)设函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足2f(x)+x2f(1x)=x2+2x√1+x2.求f(x)，并求曲线y=f(x)，y=12，y=√32及y轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.(19)设平面区域D由直线x=1，x=2，y=x与x轴围成.计算˜D√x2+y2xdxdy.(20)设函数f(x)=´x1et2dt.(I)证明：存在ξ∈(1,2)，使得f(ξ)=(2−ξ)eξ2.(II)证明：存在η∈(1,2)，使得f(2)=ln2·ηeη2.(21)设函数f(x)可导，且f′(x)>0，曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O，M为其上任意一点，点M处的切线与x轴交于点T，又MP垂直x轴于点P.已知由曲线y=f(x)，直线MP以及x轴所围图形的面积与△MTP的面积之比恒为3:2，求满足上述条件的曲线方程.(22)设二次型f(x1,x2,x3)=x21+x22+x23+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3经过可逆线性变换x1x2x3=Py1y2y3化为二次型g(y1,y2,y3)=y21+y22+4y23+2y1y2.(I)求a的值.(II)求可逆矩阵P.(23)设A为2阶矩阵，P=(α,Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量.(I)证明P为可逆矩阵.(II)若A2α+Aα−6α=0，求P−1AP，并判断A是否相似于对角矩阵.—５—２０２０年真题参考答案一、选择题（１）Ｄ．（２）Ｃ．（３）Ａ．（４）Ａ．（５）Ｂ．（６）Ｂ．（７）Ｃ．（８）Ｄ．二、填空题（９）－２．（１０）２９（２２－１）．（１１）（π－１）ｄｘ－ｄｙ．（１２）１３ρｇａ３．（１３）１．（１４）ａ４－４ａ２．三、解答题（１５）斜渐近线方程为ｙ＝ｘｅ＋１２ｅ．（１６）ｇ′（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）－∫ｘ０ｆ（ｕ）ｄｕｘ２，ｘ≠０，１２，ｘ＝０．ìîíïïïïï证明略．（１７）极小值ｆ１６，１１２()＝－１２１６．（１８）ｆ（ｘ）＝ｘ１＋ｘ２．旋转体体积为π２６．（１９）３４［２＋ｌｎ（２＋１）］．（２０）证明略．（２１）ｙ＝Ｃｘ３，其中Ｃ为任意正常数．（２２）（Ⅰ）ａ＝－１２．（Ⅱ）Ｐ＝１２２３０１４３０１０æèçççççöø÷÷÷÷÷，可逆线性变换ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝Ｐｙ１ｙ２ｙ３æèçççöø÷÷÷可将二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）化为二次型ｇ（ｙ１，ｙ２，ｙ３）．（２３）（Ⅰ）证明略．（Ⅱ）Ｐ－１ＡＰ＝０６１－１æèçöø÷，Ａ相似于对角矩阵２００－３æèçöø÷．