2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分.方法1：利用恒等变形得xxy)sin1(+==)sin1ln(xxe+，于是]sin1cos)sin1[ln()sin1ln(xxxxeyxx+⋅++⋅=′+，从而π=xdy=.)(dxdxyππ−=′方法2：两边取对数，)sin1ln(lnxxy+=，对x求导，得1cosln(1sin)1sinxxyxyx′=+++，于是]sin1cos)sin1[ln()sin1(xxxxxyx+⋅++⋅+=′，故π=xdy=.)(dxdxyππ−=′(2)曲线xxy23)1(+=的斜渐近线方程为___________.【详解】由求斜渐近线公式yaxb=+(其中()limxfxax→∞=，lim[()]xbfxax→∞=−)，得：32()(1)limlim1,xxfxxaxxx→+∞→+∞+===[]23)1(lim)(lim2323=−+=−=+∞→+∞→xxxaxxfbxx，于是所求斜渐近线方程为.23+=xy(3)【详解】通过还原变换求定积分方法1：令txsin=(0)2tπ<<,则=−−∫10221)2(xxxdx∫−202cos)sin2(cossinπdttttt220sin2sintdttπ=−∫更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq81095863422200cosarctan(cos)1cos4dtttπππ=−=−=+∫方法2：令21xt−=，有221,xt=−所以有xdxtdt=−，其中01t<<.11222001arctan014(2)1xdxdtttxxπ−===+−−∫∫(4)【答案】.91ln31xxxy−=【详解】求方程()()dyPxyQxdx+=的解，有公式()()()PxdxPxdxyeQxedxC−∫∫=+∫(其中C是常数).将原方程等价化为xyxyln2=+′，于是利用公式得方程的通解22[ln]dxdxxxyexedxC−∫∫=⋅+∫221[ln]xxdxCx=⋅+∫=211ln39Cxxxx−+,(其中C是常数)由91)1(−=y得0C=，故所求解为.91ln31xxxy−=(5)【详解】由题设，200()1arcsincoslimlim()xxxxxxxkxβα→→+−==)cosarcsin1(cos1arcsinlim20xxxkxxxxx++−+→201arcsin1coslim2xxxxkx→+−=2001arcsin1coslimlim2xxxxkxx→→−=+，又因为201cos1lim2xxx→−=，00arcsinlimarcsinlim1sinxuxuxuxu→→==所以0()11lim(1)()22xxxkβα→=+34k=由题设0→x时()~()xxαβ，所以314k=，得.43=k(6)【答案】2【详解】更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634方法1：因为1231231()(,,)11αααααα++=，1231231(24)(,,)24αααααα++=，1231231(39)(,,)39αααααα++=，故123123123(,24,39)Bααααααααα=++++++=941321111),,(321ααα，记123(,,)Aααα=，两边取行列式，于是有.221941321111=×=⋅=AB方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)123123123,24,39Bααααααααα=++++++[2][1]1232323[3][1],3,28ααααααα−−====++++[3]2[2]123233====,3,2αααααα−+++123233=2,3,αααααα+++[1][3]1223[2]3[3]====2,,αααα−−+[1][2]123====2,,ααα−又因为123,,1Aααα==，故B2A=2=.二、选择题(7)【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当||1x<时，有311||2nnnnx≤+≤，命n→∞取极限，得lim11nn→∞=，lim21nn→∞=，由夹逼准则得3()lim1||1nnnfxx→∞=+=；当||1x=时，()lim11lim21nnnnfx→∞→∞=+==；当||1x>时，33333||||1||2||2||nnnnnnnxxxxx=<+≤=，命n→∞取极限，得33lim2||||nnnxx→∞=，由夹逼准则得13331()lim||(1)||.||nnnfxxxx→∞=+=更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634所以31,||1(),||1xfxxx<=≥再讨论()fx的不可导点.按导数定义，易知1x=±处()fx不可导，故应选(C).(8)【答案】A【详解】方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数()fx的任一原函数可表示为∫+=xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF=′当()Fx为偶函数时，有)()(xFxF=−，于是)()1()(xFxF′=−⋅−′，即)()(xfxf=−−，亦即)()(xfxf−=−，可见()fx为奇函数；反过来，若()fx为奇函数，则0()()xFxftdtC−−=+∫，令tk=−，则有dtdk=−，所以000()()()()()xxxFxftdtCfkdkCfkdkCFx−−=+=−−+=+=∫∫∫，从而∫+=xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令()1fx=,则取()1Fxx=+,排除(B...