2017年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（A）.【解】/（0+0）=lim-----=占，/（0）=/（0—0）=b,ax厶a因为于（工）在工=0处连续，所以八0+0）=/（0）=/（0-0）,从而ab=£，应选（A）.（2）【答案】（C）.【解】方法一若fCx）〉0,则fJ）〉0,从而/（I）>/（-1）>0；若f（jt）<0,则/（□;）<0,从而/（1）</（-1）<0,故|/（1）|>|/（-1）|，应选（C）.方法二由于（工）•于'（工）=y/2（^）'>0得/'钦工）单调递增，从而f2（l）>/2（-1）,故|于（1）|>|/（-1）|，应选（C）.（3）【答案】（D）.T23f【解】—=2xy,—=^r,牙-=2z,dxdydz£Z|=4,iZI=i,£ZI=o,dx丨（1,2,0）3yI（1,2,0）dzI（1,2,0）1c22cosa=—?cos/?=—9cosy=—?所求的方向导数为学|=4x£十ixf=2,应选（D）.dnI（1,2,0）33（4）【答案】（C）.【解】从£=0到t=t0的时间段上，甲、乙走过的距离分别为S]=Ui（t）dt9S2=5（£）山9JoJo在t=tQ时9S]=S2+1C>9即]Vi（t）dt=Is（t）ck+10,J0Jo或f°i（?）=10,故t0=25,应选（C）.J0（5）【答案】（A）.【解】方法一令A=aa1,A2=A,令AX=AX，由（A?-A）X=（A2-A）X=0得A2-A=0,A=0或A=1,因为trA=a*a=1+•••+A„得A的特征值为入]=•••=入”=0,入”=1,E—aa1的特征值为A]==入”_i=1,A„=0,从而|E—aa'|=0,即E-aaT不可逆，应选（A）.方法二令A=E—</",人2=(£—aa1)•(E—aar)=E—2aa'+aa1=A,由A(E一A)=O得r(A)+r(E一A)n,再由厂(A)+r(E—A)r[A+(E—A)]=r(E)=n得r(A)+r(E—A)=n,而E—A=aa1,r(E—A)=r(aa1)=r(a)=1,于是r(A)=«-1</?,即E—aaT不可逆，应选(A).(6)【答案】(B).【解】显然矩阵A,B,C的特征值都是小=心=2,入3=1，/°00\由2E-A=>0-1得r(2E-A)=1,则A可相似对角化，从而A〜C；'o0110_1°\由2E-B=000得r(2E-B)=2,则B不可相似对角化，从而B与A,C不相似,00应选(E).方法点评：设为n阶矩阵，且丨AE—A|=lAE-B|,即的特征值相同，则(1)若矩阵A,B都可相似对角化，则A〜B；(2)若矩阵中一个可相似对角化，一个不可相似对角化，则A与於不相似.(7)【答案】(A).【解】由P(A|B)>P(A|B)得P(AB)P(B)PCA)-P(AB)P(B)1-P(B)，即F(A|B)>P(A|B)等价于P(AB)>P(A)F(B)；由P(B|A)>P(B|A)得P(AB)P(A)F(B)-P(AB)1-P(A)，即P(B|A)>F(B|A)等价于P(AB)>P(A)P(B),应选(A).(8)【答案】(E).【解】若总体X〜NO，/),则汀〜xy—乂屮〜"(“—i),因为总体X〜N(〃，l),所以工(X,—“)2〜*2(兀)，工(X,_乂严〜*2("_i=1£=1再由乂〜N&,丄)得寻上=庙(乂一〃)〜N(0,l),从而n(X-M)z〜/(I),4n不正确的是(B),应选(E).二、填空题(9)【答案】0.【解】方法一fO=~—\—XZ+z"—J7°+工*+O(工*),f⑶（0）由/严=0得/⑶（0）=0.方法二根据求导改变奇偶性的性质，因为_/（工）为偶函数，所以/■⑶（工）为奇函数,故/■⑶（0）=0.（10）L答案】e~'（C!cos麗工+C2sin42x）（C],C2为任意常数）.【解】特征方程为入2+2入+3=0,特征值为心,2=—1土施i,通解为夕=er（C!cos扼工+C2）（C!,C2为任意常数）.（ID[答案】一1.【解】—，Q=X+y0P2xy(jr2+y2_1)2因为曲线积分与路径无关，所以3-oxdy（12）【答案】I(1十HFa》2I_279x+y——1DQ2axy3x(j：2+y2—l)z°P,故a=_1.［解］方法一SCz)=工(一l)"Tm”T=_［工(一1)"工"］'=_(占三n=ln=l丄十力］(1+77'方法二令SQ)=〉］(—1)"T”h"T,n=l«oo«则S(jc)djr=丫(—1)"Tnxz,_1dj?=工(—l)"T«zJoW=1J0n=l1—X_X1+h1+Jtr故s(x)=\T+^1(i+^)2'(13)【答案】2.【解】(Aai,Aa2,AaQ=A,a?’a：】)，因为a!,a2,a,线性无关，所以(ai,a2,a3)可逆，从而r(Aai,Aa2,Aa3)=r(A),由」:'o01|得r(A)=2,故向量组Aa!,Aa2,Aa3的秩为2.o'（14）【答案】2./jr—4-【解】X的密度为y（_z）=0.5卩Q）+0.25讥一y—E(X)=°+°°r+°°f+°°(工—4\亠订(工)山=0.5匸列&血+0.25匸吗(飞一)+2）卩（无）（1工=2(p(j：)dx=2.方法点评:本题考查连续型随机变量的分布函数、密度函数及数字特征，需要注意以下几点:(1)若随机变量的分布函数为FQ),则其密度函数为(F'(h),x为F(h)的可导点，/•(X)=(0,鼻为FQ)的不可导点.f+w(2)若/(^)为随机变量的密度函数，则/(x)d^=1.J—ooP4-OO(3)标准正态分布的密度函数爭(工)为奇函数，即|攵*卩(工)山=0...
