2014年数学（一）真题解析一、选择题(1)【答案】(C).【解】对y+sin—,x由lim—=lim(1+—sin—)=1,lim(3/—x)=limsin—=0得曲线y=x+sin—有斜渐近线y=x，应选（C）.x（2）【答案】（D）.【解】方法一令=/(j?)—g(j?)=/(a-)—/(0)(l—j?)—/(l)jr且爭"（h）=f"〈工）,当f"〈工）$0时，申"（z）=f"（工）$0,曲线y=（p（工）为凹函数,因为卩（0）=0,甲（1）=0,所以当zG[0,1]"时，卩（z）W0,即7"（工）£g（工），应选（D）.方法二如图所示，当f"（工）A0时,y=/（jc）为凹函数，因为y=gQ）为连接A（0,/（0））与B（l,/（1））的直线，所以/（攵）Mg（工），应选（D）.方法点评：本题考查函数大小比较.利用凹凸性证明不等式是不等式证明的重要方法，设函数/（^）在[a,b]上二阶可导，且/"（•r）$0（W0）,若f（a）=/（6）=0,则当工G\_a,b~\时，/&#039;（工）=0（$0）.（3）【答案】（D）.【解】A=rcos9,令.b=rsin9,]sin6+cos0O2=^(r,(9)|守,则0则]j、~=JZd^JroU，+，nS/(rcos0,rsin(9)rdrH-Jn/(rcos9,rsin(9)rdr,应选(D).(4)【答案】(A).【解】令F(a,b)=[(jr—acosx—bsinx)2dj?(jc2+a2cos2jr+62sin2a：—2axcosx—2bgsinx+2absinxcosjc)dz=2(o&#039;2+a2cos2jc+62sin2jr—2bxsin工)d_zJo由_A3371_A33兀23=—7t3+2a2+4/cos2jcdx+21)110\01两列不成比例，所以kI&#039;反之，若a】+kaA,ai+加3线性无关,a】,a2.«3不一定线性无关，如a{,a2线性无关,a3=0.显然a(+ka3,a2+/a：j线性无关，但a{,a,,a,线性相关,应选(A).(7)【答案】(E).【解】由F(B)=0.5得P(巨)=0.5,由A相互独立及减法公式得P(A-B)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5P(A)=0.3,则P(A)=0.6,从而F(A)=0.4,于是P(B-A)-P(AB)=P(A)P(B)=0.4X0.5=0.2,应选(E).(8)【答案】(D).1f+°°1【解】£(¥,)=^：/1(j；)+/2(^)]d3；=y[E(X1)+E(X2)],02cos2j;dj?+4620sin2jcdr—4bjcsi0J0rf.27Tsinxdj?一4b•—&#039;o2-sinxdxo+兀az+id,一4k6,F：=2iza=09.得a=09b=29Fb=2tcZ?一4tu=0A=F：>由AC-B2应选(A).(5)【答案】(B).【解】2tt,0b0dB=F鴛=0,C=F；b=2兀，0且A>0得a=0,b=2时，F(a,b)取最小值，故5=0,山=2,a01)a0h=——a0d00c0c0dc0d=4兀？0aba0000d0=一ad{ad一be)+be{ad一be)=一a1d.2+2abed一b2c2=一(ad—be)2,应选(E).(6)【答案】(A).【解】若线性无关,I1由(a】+Z?a3,a2+/a3)=(a】,a2-a3)001因为(«!.a2,a3)可逆9所以a}十ba3,a2+/a3的秩与矩阵0為秩相等，因为1°\1=2,故a]+ba3皿2+心3线性无关.r0kE(Y2)=*[E(X1)+E(X2)],显然E(YQ=E(Y2).ir+°°iE(Y!)=-y2LfAy)+f2(y)ldy=-[E(Xh+，ZJ—8Z1111D(Y1)^j[E(XD+E(Xl)]--[E(X1)T~-[E(X2)T--ECXJECX,)=^D(Xi)+^0(X2)+*|：E(XD+E(X；)]-*E(Xi)E(X2),-jDCXJ+jD(X2)+*E(Xi-X2)2,D(y2)=jEDCXj)+D(X2)J,显然DCYJ>D(Y2),应选(D).二、填空题(9)【答案】—y—z—1=0.【解】F=jj2(1—siny)+j/2(1—sinx)—z,n=(2h(1—siny)—j/2cos,2^(1—sin工)一工&#039;cosy,—1),在点(19091)处的法向量为II=(29—1，一1)9切平面为7T：2(.z一1)一y一(n一1)=0,1卩2工—y一z—1=0.(10)【答案】1.【解】由/&#039;‘(工)=2(工一1)口G[0,2]得/(工)=(工一1)2+C9J：G[0,2],因为/(0)=0,所以C=—1,故/&#039;(7)=力2—2鼻MG[0,2]，/(7)=/(-1)=-/(1)=1.(11)【答案】工尹+】.【解】xyf+3/(In工—\ny)=0化为岁+—In—=0,djrxy令“=2,则“十工典—“in"=0,变量分离得-石…血_,、=主xax况(Inzz一1)x积分得ln(lnw—1)=Injc+InC，艮卩Inu=Cx+1,原方程通解为y=xeCj+1，由j/(1)=e3得C=2,故3/=xex+x.(12)【答案】Tt.6.x+ydz=Lz=cost,【解】方法一令5j/=sin,(起点t=09终点t=2tt),则〔n=—sin192nfnsinLck+sint(—cost)dt=sin2zdz+sint(—cos£)df0J—7TL=2sin2tdt=42sin2tdt=nJ0J0方法二设截口面上侧为工，则n=(0,1,1),cosa=0,cos=丄,cos7=丄，由斯托克斯公式得V2V2L011do-+3/dz=—1133x0而dS=a/1+z^.2+z&#039;ydjrdj/=麗d_zdjy,所以djr+j/dz=丄『dS=『dxdj/=k.L7(13)[答案】[—2,2]./I0【解】A=0-12,\A\=a2—4,&#039;a20丿因为A的负惯性指数为1,所以|A|<0.由|A|<0得一2<aV2.若|A|=0得a=—2或a=2,当a=—2时，由"E-A|=0得儿=一3,入2=0,入3=3,负惯性指数为1;当a=2时，由|XE-A|=0得入1=一3,入2=0,A3=3,负惯性指数为1,故...