一、填空题(本题满分20分，每小题4分)(1)若0,20),cos(sin)(2xxxxxexf是),(上的连续函数，则1.(2)(3)(4)0xx.lim(1)tgx1.(5)40xedx22(1)e二、选择题(本题满分20分，每小题4分)(1)162131)(23xxxxf的图形在点（0，1）处切线与x轴交点的坐标是(A)(A)1(,0)6(B)(1,0)(C)1(,0)6(D)(1,0)(2)若)(xf与)(xg在),(上皆可导，且)(xf〈)(xg，则必有(C)(A)()()fxgx(B)()()fxgx(C)00lim()lim()xxxxfxgx(D)00()()Xxftdtgtdt(3)(4)曲线)0(sin23xxy与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转(B)(A)43(B)43(C)223(D)23若�f(t)=xlimt(11)2tx，则ft()(21)te2t设.f(x)是连续函数，且�103,xf(t)dtx则f(7)=112.x若函数�y=f(x)有2f(x0)1，则当x0时，该函x=x0处的微分dy是(B)(A)与x等价的无穷小(C)比x低阶的无穷小(B)与x同阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(5)设yfx()是方程y2y4y0的一个解，若(fx)0，且f(x0)0，则函数fx()在点x0(A)(A)取得极大值(C)某个邻域内单调增加(B)取得极小值(D)某个邻域内单调减少三、(本题满分15分，每小题5分)(1)已知�f(x)=ex2,fx()=1-x,且(x)0.求(x)并写出它的定义域.[(x)]21，得()ln(1xx).解：由ex由ln(1x)0，得x11即x0.所以()xln(1，其定x)义域为(,0).1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学（试卷三）而22(2)(1)(1)xyxyyexyxyxyyexyxyxy，„„4分即得000|2xyee.„„5分(3)求微分方程)1(112xxyxy的通解（一般解）.解：1121(1)dxdxxxyeedxCxx„„3分2111dxCxx„„4分1arctanxCx，其中C是任意常数.„„5分四、(本题满分12分)作函数4262xxy的图形，并填写下表单调增加区间单调减少区间极值点极值凹)(区间凸)(区间拐点渐近线解：单调增加区间(,1)（1分）单调减少区间(1,)（2分）极值点1（3分）极值2（4分）凹区间(,0)(2,)及（6分）凸区间(0,2)（7分）拐点33(0,)(2,)22及（9分）渐进线0y（10分）(2)已知y1xexy，求yx0及yx0.解：显然x0时，y1.„„1分()yxexyxyyexyexy(x2yxy1).„„2分因此001xye；„„3分其图形为：五、(本题满分8分)将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？解：设圆形的周长为x，则正方形的周长为ax，而两面积之和为222244216816axxaaAxx，„„3分4088aAx（令），得4ax.„„5分408A.„„7分故当圆的周长为4ax时，正方形的周长为44aax时，A之值最小.„„8分六、(本题满分10分)设函数�y=y(x)满足微分方程y3y2y2ex,且图形在点(0，1)处的切线与曲线2yxx1在该点的切线重合，求函数yy(x).解：对应齐次方程的通解为12YCeCe2xx.设原方程的特解为y*Axex,得A2.故原方程通解为122y(x)CexCexxe22x.又已知有公共切线得00|1xxy1,|y，即12121,12cccc解得c121,c0.所以(12x)e.2xy设)(xf在),(上有连续导数，且Mxfm)(.(1)求dtatfatfaaaa)()(41lim20；(2)证mMxfdttfaaa)()(21)0(a.解：(1)由积分中值定理和微分中值定理有201lim[()()]4aaaftaftadta01lim[()()]2afafaa()aa„„2分****00lim()lim()(22)affaaaa=(0)f.„„4分(2)证：由()fx的有界性及积分估值定理有„„5分1()2aamftdtMa,„„6分又()Mfxm，„„7分故有1()()()2aaMmftdtfxMma，即1()()2aaftdtfxMma.„„8分七、(本题满分7分)dttx)设x1，求(1.1解：当x10时，11(1||)(1)xxtdttdt„„1分211(1)2xt„„2分1(12x)2.„„3分当x0时，0110(1||)(1t)(1)xxtdtdttdt„„5分211(1x)2.„„7分八、(本题满分8分)