1988年数学(一)真题解析⑴【解】由怏|亍卜怛(”+1；•3屮I入=寻得收敛半径R=3,当工一3=—3,即h=0时，工-—9-收敛;“=i九当工一3=3,即工=6时，工~~发散，□n故级数乞&的收敛域为：0,6).”=in•32_______________(2)【解】由e95(x)=1—工，得申(z)=5/ln(l—j;),由1—工得卩(工)的定义域为(-oo,01(3)【解】由高斯公式得s3dydz+夕3dzd«z+n'dzdyf2Kfnfl=3jd&Jdyjr4sincpdr12?r~5-二、填空题(1)【答案】(l+2C/・【解】/(Z)=limr(l+—)2<X=Himr(l+—)X"l"=te21,工-*8\JC'x-*°°L'JC)」则/(z)=/+2te〃=(l+2t)e“.3⑵【答案】y.【解】/Q)的傅里叶级数在Z=1处收敛于/(1-0)+/(1+0)/(1-0)+/(-1+0)1+232=2=2=T'(3)【答案】春.「工3_]【解】=x两边对无求导得3j:2/(x3—1)=1,J0取工=2得于(7)=春.(4)【答案】40.【解】由A+B=(a+j?,2r2,2r3,2y4)得\A+B\=丨a+",2”，2人，2人I=8Ia+0,"，人，人丨=8(ICt9y2»y3»/4|+|09丫2，丫39丁4丨)=8(IA|+IBI)=40・三、选择题(l)【答案】(B)・【解】因为于(工)在无=工0处可导，所以/(工)在无=工0处可微，于是dy=fJjc%工=-y-Ax，故函数在工=Xq处的微分dy是与同阶而非等价的无穷小，应选(B).（2）【答案】（A）.【解】将x=x0代入y"—2y'+4^=0,得/"（乂o）—2仆工烏+4/（x0）=0,从而r（x0）=-4/（x0）<0,由极值判别法得z=工。为于（工）的极大值点，应选（A）.（3）【答案】（C）.【解】由奇偶性得jjxdw=JJj/dv=0,JJzdx>=,JJzyzd©=0,显然选（C）.C]ni。1n2ni（4）【答案】（B）.【解】因为级数》；a”Q—1）”在工=一1处收敛，”=0所以其收敛半径R^1-1-11=2.当工=2时，因为|2—1|=1<R,所以该级数在z=2处绝对收敛，应选（B）.（5）【答案】（D）.【解】方法一若•••线性相关，则存在不全为零的数局，展，…,ks,使得+k2a2+••'+ksas=0,A,b不妨设HO,则a〕=——a2—…一—5,BP至少有一个向量可由其余向量线性表ZK,故ai,a2,线性无关的充分必要条件是a「a2,…，见中任意一个向量都不可由其余向量线性表示,应选（D）.方法二a3线性相关，排除（A）,（B）；，显然2«j+a2—a30且其中任两个向量线性无关，但向量组ai,a2,(D).四、【解】d2Ud2Udxdy，显然5不可由a2.a3线性表示，但aia2,a3线性相关，排除（C）,应选+Egx（9讨厂&）+夕一討仔）+条e）-xe）-莎㈢一討仔）-莎enXd2y7二五、【解】特征方程为A2-3A+2=0,特征根为入]=1,入2=2,yf—3^Z+=0的通解为夕=CieJ+C2e2J;设原方程的特解为歹0（工）=ajcex,代入得a=—2,故原方程的通解为y=C&+C2e2x—2工于（C】，C2为任意常数）.因为曲线；y=j/（h）经过点（0,1）,所以Cj+C2=1;y=yCx）在工=0处切线的斜率为怡=（2工一1）|工=o=—1,又由“=C］于+2C2e2x-2（工+l）ex，得C】+2C?—2=—1,即C】+2C?=1,从而Cl=1,C2=0,故所求函数为y=（1—2x）eJ・六、【解】设M（工，夕），则MA={—hJ—』},MA0=F°=—］{—x?1—y},丿工2+（］—夕）2贝0,y）=|F|•F°=-------------------------{—无，1—y},：x2+（i-j.）2r设M沿y=丿2工—川从点£(2,0)到点O(0,0)的有向曲线段为L,则w="—"dz+(l—y)V，'L+(l—y)于令,y)=---------------------------,Q(g,y)=---------------------------E^2+(i-^)2rEx2+(i-j-)z]7因为学=字，所以曲线积分与路径无关，oxdy故w=k\_JBO3_［川+（1—J；）?卩—xdr+（1—y）dy2（x2+1）7/100\/I0七、【解】P—】=2-10,A=PBP1=20、一41/、6_]A5=PBP1=PBP1=A.八、【解】(1)因为矩阵A与_8相似，所以trA=trB,即乂+2=y+l,或工=y—\再由矩阵A与B相似得|A|=|B|，即一2=—2y,解得y=1,故z=0,y=1.(2)显然矩阵A及B的特征值为入1=2,入2=1，入3=—1，/00由2E-A=02、0-1冷得0o'2''0矩阵A的相应于入】=2的特征向量为=(l,0,0)T；\0矩阵A的相应于入201_11''o001—100得=1的特征向量为他=(0,1,1)丁；I-30由_E_A=0-1'0-1矩阵A的相应于入3=-1的特征向量为5=(0,—1,1)丁，令」：；°\一1，则P^AP=B.011九、【证明】令S,(x)S2Q)=「[/&)—/Q)]dt,再令卩Q)=Si(x)—3S2(x)=J[_f(.x)—/(Z)]dz—3J\_f(i)—f(x)]di,则卩(z)=(x—a)/(x)—Jf(t)dt+3Jf(.t)dt—3(x—b')f(x'),因为y'Q)>0,所以于(工)在[a,6]上严格递增，从而°(a)=——y(a)]dt<0,卩(b)=P...
