1996年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)设=8,则a=________.工-*°°'X—CL'(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4h—y+2z=8垂直，则此平面方程为________•(3)微分方程夕"一+2夕=e"的通解为________.(4)函数u=ln(_z+//+/)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为________.I1°(5)设A是4X3矩阵，且A的秩r(A)=2,而0210二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)已知&+严)山丁屈为某函数的全微分，则a等于((A)-1(B)0(C)l2\0，贝I]r(AB)=).(D)2严(r)(2)设/(j;)有二阶连续导数，且7"'(0)=0,lim―ii—=1,则().乂一o|x|(A)f(0)是于(工)的极大值(B)/(0)是f(x)的极小值(C)(0,/(0))是曲线y=)的拐点(D)f(O)不是/'(工)的极值,(0/(0))也不是曲线》=/(工)的拐点(3)设a”>0(九=1,2,…),且工a”收敛,常数入G(0,今),则级数另(—1)"("tan—ja2„().(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与A有关(4)设/'(工)有连续导数>/(0)=0,/z(0)工0,F(jr)=[(j：2—t2)f(t)dt,且当x-*0时,F'(工)与是同阶无穷小，则怡等于().(A)l(B)2(03(D)400馆50(5)4阶行列式0ci2b20b3cc-i0的值等于().(A)6Z](22^3^4b\b3b4(B)a1a2^3fl4+blb2b3bi00a4(C)(a卫2一一b3bi)(D)(a2a3—b2b3)(a1ai—b^bQ三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1)求心形线r=a(l+cos0)的全长，其中a>0是常数.(2)设g=10,工卄1=丿6+工”(“=1,2,…)，试证数列｛乂”｝极限存在，并求此极限.四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1)计算曲面积分JJ(2h+z)dydzzdxdy,其中S为有向曲面z=^2+j/2(0^z^l),其S法向量与2轴正向的夹角为锐角.⑵设变换—幻，可把方程§冷+害_冷=0化简为窘=0,求常数a,其中®=z+aydxdJCdy3ydUdyZ=Z(H,y)有二阶连续的偏导数.五、（本题满分7分）求级数紗士莎的利六、（本题满分7分）设对任意的x〉0,曲线;y=/（jr）上点（工，/'（z））处的切线在夕轴上的截距等于丄［/XCdz,求xJo于（工）的一般表达式.七、（本题满分8分）设/"（工）在［0,1］上具有二阶导数，且满足条件：『（工）|£a,|严（工）|Wb,其中a,b都是非负常数,c为（0,1）内任意一点.（1）写出/■&）在点工=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；（2）证明：|（c）|£2a+㊁.八、（本题满分6分）设A=E-^\其中E是"阶单位矩阵疋是“维非零列向量，&「是§的转置，证明:（1）A2=A的充分必要条件是Mg—1;（2）当=1时,a是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型/（J：1,広2，工3）=5.Z1+5jr2+3一2jf!J72+6jf!JT3一6j"2JC3的秩为2.（1）求参数C的值及此二次型对应矩阵的特征值；（2）指出方程/'01，尤2，分3）=1表示何种二次曲面.十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）（1）设工厂A和工厂£的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A厂和£厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于4厂生产的概率为（2）设行是两个相互独立0.均服从正态分布N（0.的随机变量.则随机变量|$—“|的数学期望E（|—7]I）=________.十一、（本题满分6分）设W,乃是相互独立且都服从同一分布的两个随机变量，且E的分布律为P=i}（/=1,2,3）,又设X=max{g,rj},Y=min{£,少}.（1）写岀二维随机变量（X,Y）的分布律：YX123123（2）求随机变量X的数学期望E（X）.