1987年全国硕士研究生招生考试数学（一）（科目代码：301）一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）卜=1,（1）与两直线—1+/,及斗^='尹=千^都平行，且过原点的平面方程为_______•[z=2+/（2）当z=________时，函数y=攵2*取得极小值.（3）由曲线与两直线夕=（e+1）—及y=0所围成的平面图形的面积为_______.（4）设L为取正向的圆J；'+夕2=9,则曲线积分$（2巧—2,y）djc+（x2—4jr）dj/的值为（5）已知3维线性空间的一组基为s=（1,1,0）,。2=（1,0,1）卫3=（0,1,1）,则向量a=（2,0,0）在上述基底下的坐标为________•二、（本题满分8分）][xt2求正常数a与b,使得lim---------:.......=1成立.x-*obx—sinJo!a_|_^2三、（本题满分7分）（1）（本题满分3分）设函数f,g连续可微，"=y（m）=g（z+砂），求石•茹./3o（2）（本题满分4分）设矩阵A与B满足AB-A+2B,其中A=11'o10，求矩阵B.四、(本题满分8分)求微分方程+^yr，+(9+<22)j/z=1的通解，其中常数a>0.五、选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分)001I(1)设常数k>0,则级数工(一1)"斗壬().n=l九(A)发散(E)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛或发散与k的取值有关(2)设I=,其中/(J?)为连续数,s〉0,t>0,则I的值().J0(A)依赖于s,t(E)依赖于s,t(C)依赖于t,工，不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于/(3)设lim了V-了:;?=—1,则在点x=a处().(A)/©)可导且f\a)HO(B)/(j;)取得极大值(C”Q)取得极小值(D”Q)的导数不存在(4)设A为阶矩阵，且|A|=aHO,A*是A的伴随矩阵，则|A*|=().(A)a(B)—(C)a"T(D)a"a六、(本题满分10分)求密级数£2込"T的收敛域，并求其和函数.n=1九2七、（本题满分10分）计算曲面积分/=JJz(83/+1)dj/dz+2(1—y2)dzdj：—4yzclzdy,其中S是由曲线sF"i(lw0=0（夕W3）绕夕轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与夕轴正向的夹角大八、（本题满分10分）设函数于（工）在闭区间［0,1］上可微，对于［0,1］上的每个工，函数的值都在区间（0,1）内,且fr（j;）H1,证明：在（0,1）内有且仅有一个x，使得fO~x.九、（本题满分8分）JCjX2+工3+工4=0,•Z2+2工3+2j?4=1,问a,b为何值时，线性方程组丿/、有唯一解？无解？有无穷多个—x2+（a—3）a:3—2攵4=b,3x1+2工2+広3+az4——1解？并求出有无穷多个解时的通解.十、填空题(本题共3小题，每小题2分，共6分)(1)假设在一次试验中，事件A发生的概率为p,现进行兀次独立试验，则A至少发生一次的概率为________，而事件A至多发生一次的概率为________.(2)三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白球的概率等于________.已知取岀的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为________•12(3)已知连续型随机变量X的概率密度为/(^)=—+ET,则X的数学期望为________,V7TX的方差为________•十一、(本题满分6分)设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为0<工VI,其他，夕＞0,夕W0,求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数fz(z).