2003年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】e~7【解】limCcosx)1*1+工)=ljm{[1+(cosjc—1)]（2）【答案】2工+4夕一之一5=0・【解】令F（j:9夕，之）=X1+y1—z,设切点坐标为（工0,勺）,则切平面的法向量为n={F；,F'y,F；}|（工。,％*0）={2工0,2夕0,—1},因为切平面与平面2広+4夕一z=0平行，9T9v一1所以—3上=~y2=—，解得工0=1，夕0=2,从而zo=j^+y：=5,L4—1所求的平面为2（工—1）+4（j/—2）—（z—5）=0,即2x+4y—z—5=0.（3）【答案】1.【解】5=—fx2cos2jcdjc=—|x2d（sin2工）d(cos2jc)=—cos2工兀/23\⑷【答案】（_]_/【解】令A=（aj,a2）,B=（卩i,02）./23设从基ai,a2到基趴仇的过渡矩阵为Q,则B=AQ,于是Q=A~iB=（\一1—（5）【答案】4【解】P{X-\-Y1}—/(□?)djrdj^=（6）【答案】(39.51,40.49).【解】av一.一0.05,“o.o25=1.96，统计量—---=4(X—〃)〜N(0,l),(39.51,40.49).由P{—1.96<4（X—〃）<1.96}=0.95得〃的置信度为0.95的置信区间为（I■—乎，工+丁）=（39.51,40.49）.716方法点评：对正态总体X〜N（〃y2）的参数〃进行区间估计分两种情况:情形一：八已知取U=———〜N(0,1),由—uaV———<Cua>—1一a,得参数〃的置信度为1—a[―o—,(T\的置信区间为(X----—u,X+—zu„情形二未知取丁=------〜/（"—1）,由P<—ta（t?—1）V--------—<ta（"—1）<=1—a，得参数卩S7574nI4n-的置信度为1—a的置信区间为（X—t仝（"一'1）,X+s（n—1）V\Jn2Jn2/二、选择题（7）【答案】（C）.【解】设尸（工）与丁轴交点的横坐标从左到右分别为a,h,c,显然/（工）有三个驻点工=a,x=b,工=c及一个不可导点2=0.当x<«时,f'O>0,当工6（a,b）时,/'（工）V0,则鼻=a为心）的极大值点；当gW（6,0）时,十（工）>0,则工=b为心）的极小值点；当工G（0,c）时，/'（z）V0,则鼻=0为/（jc）的极大值点；当工>C时,/Z（J7）>0,则工=C为/（J7）的极小值点，故/（工）有两个极大值点和两个极小值点，应选（C）.方法点评：求函数的极值时按如下步骤进行：（1）找出fd）的驻点及不可导的点；（2）判断每个点是否为极值点（按照具体情况选用第一充分条件和第二充分条件）.由lime”=oo得lim|b”c”|=+°°,故limb”c”=00,应选(D).（8）【答案】（D）.【解】方法一3取a”=—,b„=n=l,c”=—,显然（A）,（B）,（C）不成立，应选（D）方法二取€=因为limb”=Ci1,所以存在N>0,当">N时，bn—l|v㊁，从而有bn>*•当">N时，I久C”丨>㊁丨C”I'（9）【答案】（A）.【解】由1此马王2呼：了=1及23的连续性，得/（0,0）=0.lo（2十y）yf0再由lim弓打"2阳=1，得_/"(久，夕)—xy=(J；2+y2Y+。[(工2+j>2)2]JfO(乂+V)yf0或fCx,y)=xy+(a-2+j^2)2+o[(jr2+j/2)2].当y=x时,/(J7,jr)=jf2+4工4+o(jc4)—x2+o(a-2)>0;当y=一x时，/(jr,一x)=一x2+4j?4+o(x4)=—x2+o(j?2)VO,则(0,0)不是函数的极值点，应选(A).(10)[答案】(D).【解】方法一因为向量组I可由向量组II线性表示，所以r(I)<r(n),显然厂(II)Ws,于是r(I)Ws.当厂>s时，因为r(I)<5<r,即向量组I的秩小于向量组I所含的向量个数，所以向量组I线性相关，应选(D).方法二取I：ai=(；),U：0i=C),02=(；)，显然向量组I可由向量组n线性表示且r<5,但向量组D线性无关，(A),(C)不对；取I：©=(；)，«2=(2)，H:你=(；)，显然向量组I可由向量组n线性表示且r>s,但向量组n线性无关，(e)不对，应选(D).(11)【答案】(B).【解】方法一若AX=0的解为BX=0的解，则AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不超过BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量个数，即n-r(A)<n—r(B),从而r(A)$r(B)；若AX=0与BX=()同解，则厂(A)=r(B),反之不对，故应选(E)./11—2\方法二取A=(,B=(111),厂(A)=2$厂(JB)=1,\10-U但X=为AX=0的解，不是BX=0的解，第2个命题不对；取A=(11-1),B=(l-1-1),r(A)=r(B),但AX=0与BX=0不同解，第4个命题不对，应选(E).方法点评：本题考查两个齐次线性方程组的解与系数矩阵的秩的关系.齐次线性方程组系数矩阵的秩即为方程组中约束条件的个数，系数矩阵的秩越大则约束条件越多，解就越少；系数矩阵的秩越小则约束条件越少，解就越多•设AX=0与BX=0为两个齐次线性方程组，则：(1)若...
