12021考研数学真题及答案解析数学（二）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)当0x时，230(1)xtedt时7x的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当0x时，23670(1)2(1)2xtxedtxex，所以230(1)xtedt是7x高阶无穷小，正确答案为C.(2)函数1,0()=1,0xexfxxx,在0x处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为001lim()=lim1(0)xxxefxfx，故()fx在0x处连续；因为200011()(0)11lim=limlim002xxxxxefxfexxxxx，故1(0)2f，正确答案为D.(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)1253/cms，402/cms.(B)1253/cms，402/cms.(C)1003/cms，402/cms.(D)1003/cms，402/cms.【答案】C.【解析】由题意知，2,3,drdhdtdt又22,22VrhSrhr则22,224dVdrdhdSdrdhdrrhrhrrdtdtdtdtdtdtdt当10,5rh时，100,40,dVdSdtdt选C.(4)设函数()ln(0)fxaxbxa有两个零点，则ba的取值范围是(A)(,)e.(B)(0,)e.(C)1(0,)e.(D)1(,)e.2【答案】A.【解析】令()ln0fxaxbx，()bfxax，令()0fx有驻点bxa，ln0bbbfabaaa，从而ln1ba，可得bea，正确答案为A.(5)设函数()secfxx在0x处的2次泰勒多项式为21axbx，则(A)11,.2ab(B)11,.2ab(C)10,.2ab(D)10,.2ab【答案】D.【解析】由22(0)()(0)(0)()2ffxffxxox知当()secfxx时，2300(0)sec01,(0)(sectan)0,(0)(sectansec)1,xxffxxfxxx则221()sec1().2fxxxox故选D.(6)设函数,fxy可微，且2(1,)(1)xfxexx，22(,)2lnfxxxx，则(1,1)df(A)dxdy.(B)dxdy.(C)dy.(D)dy.【答案】C.【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)xxxfxeefxexxx①2212(,)2(,)4ln2fxxxfxxxxx②将00xy，11xy分别带入①②式有12(1,1)(1,1)1ff，12(1,1)2(1,1)2ff联立可得1(1,1)0f，2(1,1)1f，12(1,1)(1,1)(1,1)dffdxfdydy，故正确答案为C.(7)设函数fx在区间0,1上连续，则10fxdx(A)1211lim22nnkkfnn.(B)1211lim2nnkkfnn.(C)2111lim2nnkkfnn.(D)2012lim2nxkkfnn.【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将[0,1]分成n份，取中间点的函数值，则101211()lim,2nnkkfxdxfnn即选B.(8)二次型222123122331(,,)()()()fxxxxxxxxx的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222fxxxxxxxxxxxxxxxx3所以011121110A，故特征多项式为11||121(1)(3)11EA令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵123,,A，123,,B，若向量组123,,可以由向量组12,线性表出，则(A)0Ax的解均为0Bx的解.(B)0TAx的解均为0TBx的解.(C)0Bx的解均为0Ax的解.(D)0TBx的解均为0TAx的解.【答案】D.【解析】令123123(,,),(,,),AaaaB由题123,,aaa可由123,,线性表示，即存在矩阵P,使得,BPA则当00TBx时，000()0.TTTTAxBPxpBx恒成立，即选D.(10)已知矩阵101211125A若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取(A)100010001...