小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册）复习02讲平面向量中的最值、范围问题及极化恒等式的应用（精讲+精练）①数量积的最值、范围问题②模长（线段长度）的最值、范围问题③夹角的最值范围问题④极化恒等式的妙用一、基础储备（1）向量在平面几何中的应用①平面两个向量的数量积：；②向量平行的判定:；③向量平行与垂直的判定:；⃗a⊥⃗b⇔x1x2+y1y2=0.④平面内两点间的距离公式：（其中，）⑤模长：；；⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).（2）平面向量解决最值问题，通常有两种思路①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.二、极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有证明：，①，②小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．①数量积的最值、范围问题【题型精练】一、单选题1．（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】如图所示建立平面直角坐标系，设，显然，所以，由二次函数的单调性知.故选：A2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（）A．B．C．D．【答案】A【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算分析可知点与点重合时，取到最大值，即可得结果.【详解】由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com不妨设，则，可知直线对应的一次函数解析式为，可设，可得，则，且，因为开口向上，对称轴为，且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值，此时，且，所以.故选：A.3．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题.【详解】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如图，取线段的中点，连接，则，由，因直线经过点，考虑临界情况，当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长，为，（但此时直线与轴平行，点不存在）；当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）.故的范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可.4．（23-24高二下·北京·期中）已知的外接圆的半径为1，，则的最大值...