小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题03复数一、知识聚焦二、题型聚焦小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com知识点1：复数的有关概念1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是．2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．（1）（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi．知识点2：复数的几何意义1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ=(a,b)是一一对应的．【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．3、复数的模（1）定义：向量⃗OZ的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|．（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．知识点3：复数的运算1、复数的运算法则设，(a，b，c，d∈R)，则：（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）除法：2、复数运算的几个重要结论（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2.（3）若z为虚数，则|z|2≠z2.（4）(1±i)2＝±2i.（4）＝i；＝－i.3、虚数单位i的乘方小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．4、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：（1）求根公式法：①当∆≥0时，x=−b±❑√b2−4ac2a②当∆<0时，x=−b±❑√−(b2−4ac)i2a（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．知识点4：复数的三角形式1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角.【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．2、辅角主值（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角．（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的．3、复数乘、除法的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，（1）乘法：z1z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，即模数相乘，辅角相加．（2）除法：z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]...